Собственные значения и собственные векторы матрицы

2.2. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Уравнение (точнее, однородная СЛАУ)  имеет нетривиальное (отличное от нуля) решение тогда и только тогда, когда ее определитель .

Для некоторого ненулевого вектора  и числового параметра  можно составить СЛАУ

                                                   .                                           (2.7)

Очевидно, решение (2.7) будет нетривиальным, если

                                                                                            (2.8)

По определению определителя слева в характеристическом уравнении (2.8) имеем полином степени  от . Значит уравнение (2.8) имеет ровно  корней . Это корни (действительные или комплексные) называются собственными значениями (СЗ) или собственными числами матрицы .  Используем этот набор собственных чисел, и каждое из них подставим в (2.7). Получим набор из  систем уравнений. Каждая из них определяет свой вектор , соответствующий подставленному в СЛАУ (2.7) собственному значению . Полученные векторы называются собственными векторами (СВ) матрицы . Из (2.7) очевидно, что на действие матрицы на собственные векторы сводится к умножению их на собственные числа, .

Понятно, что если все СЗ  различны, то различны и соответствующие им СВ, причем они образуют базис в . Вообще это не всегда так, но например СЗ симметричных матриц различны и действительны, а их СВ образуют базис. Для  все .

Спектральный радиус  матрицы  ‑ это наибольшее по модулю собственное число:

Рекомендуемые материалы

                                                                                            (2.9)

Для действительных СЗ определяют наименьшее и наибольшее

                                    .                          (2.10)

а также число обусловленности  для матрицы :

                                                                               (2.11)

Итак, главные спектральные свойства симметричных положительно определенных квадратных матриц, т.е.   , с вещественными элементами:

1. СЗ ;

2. СВ  образуют ортонормальный базис в , т.е. ;    

3.

Две матрицы  и  называются подобными, если можно указать невырожденную матрицу , такую, что . Подобные матрицы  и  имеют одинаковые СЗ. Кроме того, для любой матрицы  с действительными элементами, которая подобна симметричной вещественной матрице  справедливы свойства 1 и 3.  Матрица  называется матрицей симметризации.

Рекомендуем посмотреть лекцию "Начало раздробленности на Руси".

Отношение Рэлея для произвольного ненулевого вектора  и матрицы  есть дробь . Если , то

                                                (2.12)

Степень матрицы есть . Матричный многочлен степени  для матрицы  – это матрица того же размера

                                                                           (2.13)

Его СЗ  получаются из СЗ  матрицы  по формуле

                                                                (2.14)