Векторы и матрицы
2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
2.1. Векторы и матрицы
Будем обозначать через 
множество вектор-столбцов, или матриц размера 
. Элемент из этого множества задается своими компонентами:
(2.1)
Векторы 
линейно зависимы, если есть такие отличные в совокупности от нуля числа 
, что
(2.2)
Если же равенство (2.2) имеет место только при всех 
, то система векторов 
линейно независима.
Базис представляет собой множество 
линейно независимых векторов из . При этом любой вектор 
из может быть представлен в виде разложения по базису
(2.3)
Рекомендуемые материалы
причем набор чисел 
в этом разложении определяется единственным образом.
Транспонированный вектор обозначается 
.
Скалярное произведение векторов 
равно
(2.4)
Квадратная матрица 
из множества 
представима в виде
(2.5)
Транспонированная к ней матрица 
.
Единичная матрица обозначается 
, имеет единицы на главной диагонали, а остальные нули: 
- символ Кронекера.
Матрица называется невырожденной, если существует обратная к ней матрица 
, такая что 
.
Рекомендация для Вас - 49. Задача поэта.
Матрица называется симметричной, если у нее 
.
Симметричная матрица 
симметрична и положительно определена, если для любого ненулевого вектора 
скалярное произведение
(2.6)
Такая матрица невырождена, т.е. имеет обратную.
Если - невырожденная матрица с действительными коэффициентами, то 
- симметрична и положительно определена.
Если 
(симметрична и положительно определена), то существует единственная матрица 
, такая, что 
, которая называется квадратным корнем: 
.
