Соотношения теории пластичности

Соотношения теории пластичности

         Теория пластичности моделирует нелинейную реакцию материала за пределами упругости, не зависящую от скорости нагружения, т.е. ее соотношения и сама теория не зависят от времени.

         Для приводимых ниже соотношений используется иногда термин теория скоростного типа, что означает наличие в определяющих соотношениях слагаемых скоростного типа, но явной зависимости от времени нет.

         В теории пластичности вводится понятие функции нагружения (в отличие от функции текучести, которая представляет собой функцию нагружения, действующую только в течение первого цикла нагружения от недеформированного состояния).

         Полная деформация представляется в виде

                              (1.15)

причем справа первое слагаемое – упругая составляющая, второе – пластическая.

         Общий вид функции нагружения представляется в виде

                                      (1.16)

Рекомендуемые материалы

         Скалярная величина  здесь – общая функция главных переменных теории. Покажем, как (1.16) можно использовать для определения упругой или пластической деформации.

         Определим деформации (1.15) как функции напряжений. Упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука:

Обычно используется изотропная форма этого соотношения.

         Пластическая деформация определяется соотношением

                         (1.17)

где точка означает дифференцирование по времени.

         Для того, чтобы действительное физическое поведение не зависело от скоростей деформирования, нужно, чтобы функция справа в (1.17) была однородной функцией первой степени от скоростей напряжений  Соотношение (1.17) можно записать в виде соотношения между приращениями  

         Уравнения состояния зависят от того, какой из трех видов деформирования реализуется: нагружение, разгрузка, нейтральное нагружение.

         При нагружении

         При этих условиях определяется по (1.17).

         При нейтральном нагружении

В этом случае = 0.

         При разгрузке

и вновь = 0.

         Главная проблема заключается в определении конкретного вида функций  Это определение делается на основе обработки экспериментальных данных, поэтому в литературе можно встретить большое разнообразие представления этих функций.

После этого можно интегрировать уравнения состояния, записанные в скоростях, и получить историю напряжений и деформаций.

Функции текучести

Наиболее известны и распространены функции текучести Мизеса и Треска.

В соответствии с функцией текучести Треска течение наступает тогда, когда максимальное сдвиговое напряжение достигает определенного значения

                               (1.18)

где k – предел текучести при чистом сдвиге.

         Критерий Треска можно переписать в общем виде

где  - инварианты девиатора тензора напряжений, которые можно записать в виде

         Критерий текучести Мизеса выглядит проще и записывается в виде

где k – предел текучести при чистом сдвиге.

         Физический смысл критерия Мизеса сводится к тому, что энергия деформирования, связанная со сдвиговой деформацией, ограничена.

         Задания функции текучести в одной из выше описанных форм достаточно, если материал является упруго-идеально-пластическим.

         Если учитывать упрочнение материала, то можно использовать уравнение (1.17) в частной форме, например,

          (1.19)

Параметр λ должен быть однородной функцией первой степени относительно скорости изменения напряжений. Соотношение (1.19) называют законом течения. Оно выражает условие нормальности вектора скорости пластической деформации к поверхности текучести. Это следует из постулата Друккера, который представляет собой основное энергетическое неравенство, и из которого следует, что поверхность нагружения должна быть выпуклой.

         Рассмотрим два наиболее общих вида упрочнения.

         Упрочнение, или закон упрочнения, определяет изменение формы и размеров поверхности нагружения в процессе деформирования.

Простейший вид упрочнения – изотропное упрочнение. Тогда функция нагружения (1.16) записывается в следующем частном виде

4.9 Параметрические запросы - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

где весь эффект упрочнения определяется изменением параметра . В этом случае – изотропного упрочнения – не проявляется эффект Баушингера. В связи с этим модель не пригодна для описания широкого класса материалов.

         Кинематическое упрочнение определяет функцию нагружения в виде

                               (1.20)

где k – константа, а - тензор параметров упрочнения, зависящий от основных переменных задачи. Из (1.20) следует, что поверхность нагружения просто перемещается в пространстве напряжений без изменения формы.

         Все соотношения, представленные выше, позволяют описывать зависимости деформации-напряжения для так называемой невязкой пластичности. Остальные соотношения теории упругости – геометрические и уравнения равновесия (движения) – не меняются.

         Поскольку соотношения пластичности являются нелинейными, то и соответствующие краевые задачи нелинейны.