Метод последовательных нагружений

Метод последовательных нагружений

С использованием вариационного принципа в форме метода перемещений решаются задачи, когда для дискретизации функционала приращения энергии используется метод конечных элементов [1, 2]. В качестве параметра нагружения могут использоваться как приращения сил или перемещений на границе, так и (при решении задач о температурных напряжениях) изменение температуры в расчетной области.

Решение заключается в следующем [3]. С использованием инкрементальной теории (теории приращений [2]) процесс деформирования представляется в виде последовательности равновесных состояний

где и  - начальное и конечное состояния,  - некоторое произвольное промежуточное состояние. Далее считается, что все параметры, характеризующие деформируемую систему, для состояния N известны, и задача сводится к определению параметров системы для состояния N+1. Предполагая, что смежные состояния N и N+1 достаточно близки друг к другу, все определяющие соотношения можно линеаризовать по отношению к приращению переменных состояния.

         Если на тело нанесена связанная с ним (лагранжева) система координат, то при его деформировании система координат движется, так что зависимость между начальной (исходной, отвечающей состоянию N, в том числе при N = 0) системой координат Х_i и текущей (деформированной, отвечающей состоянию N+1) системой х_i имеет вид

                                               x_i = X_i + Du_i,                                  (1.23)

где Du_i – приращение перемещений.

Рекомендуемые материалы

         Рассмотрим конструкцию в начале шага N. В этот момент начальные и текущие координаты совпадают. Внутренние напряжения  и нагрузка на поверхности          в общем случае не равны нулю. Эти напряжения и нагрузки вычисляются в начальных координатах X_i и отнесены к единице площади до момента конечного приращения нагрузки. Соответствующие площадь поверхности и объем конструкции будем далее называть недеформированными. Для этого состояния система характеризуется координатами x_i = X_i , полями напряжений , усилий , деформаций  и перемещений . После приращения нагрузки на величину  в новом “деформированном” состоянии в конструкции возникнут текущие поля перемещений, деформаций и напряжений, причем

                                                                           (1.24)

                                                                               (1.25)

         Принцип виртуальной работы в текущем деформированном состоянии  запишется в виде

                      (1.26)

Здесь  - тензор приращения деформаций (тензор Грина):

                                                                  (1.27)

(, - линейная и нелинейная части приращения деформаций соответственно). Зависимость между напряжениями и деформациями имеет вид

                                                                         (1.28)

где через коэффициенты  может быть учтена предыстория нагружения. Если подставить (1.24), (1.25), (1.27), (1.28) в (1.26), получим

                       (1.29)

         Следует отметить, что напряжения полученные на шаге N, являются начальными для шага N+1. Для шага N эти напряжения отнесены к недеформированной площади и ориентированы относительно текущих осей х_i . Для шага N+1 эти напряжения следует отнести к деформированной площади и начальным осям X_{i .}

                Зависимость между тензорами напряжений в начальном и деформированном состояниях определяется соотношениями

                                                                 (1.30)

где  – детерминант матрицы

         Из (1.23) следует

                                                                        (1.31)

где  - символ Кронекера. Тогда масштабирующий множитель в (1.30) равен

                                                 (1.32)

         В плоской задаче линейная и нелинейная части деформации (1.27) могут быть представлены соответственно в виде

                                                               (1.33)

                                                                        (1.34)

После подстановки (1.33), (1.34) в (1.29) получим принцип виртуальной работы для конечных приращений, который лежит в основе конечно-элементной формулировки задачи

                         (1.35)

Преобразование напряжений при переходе от текущего состояния к начальному имеет вид

                   (1.36)        

где - приращения углов поворота:

                                                                 (1.37)

         После разбиения расчетной области на конечные элементы приращение перемещений в каждом элементе аппроксимируется следующим образом:

                                                                                (1.38)

где  - функции формы,  - приращение перемещений в узлах. Подставляя (1.38) в (1.35), получаем так называемое элементное матричное уравнение

                                                             (1.39)

где

                                                              (1.40)

                                                                (1.41)

                                                                         (1.42)

                                            (1.43)

В этих выражениях V_n, S_n – части объема и поверхности, принадлежащие рассматриваемому элементу,  - матрица жесткости для состояния начальных напряжений (или матрица влияния начальных напряжений, или инкрементальная геометрическая матрица жесткости), k_ij – элементная матрица жесткости, - вектор приращения нагрузок на очередном шаге, - остаточная погрешность равновесия сил в каждом элементе. Напряжения , входящие в инкрементальную матрицу жесткости, вычисляются на каждом шаге. Полные перемещения получаются суммированием приращений перемещений с предыдущими. Зависимость между напряжениями и деформациями на каждом шаге алгоритма может меняться в соответствии с изменением наклона кривой деформирования реального материала.

         Итак, уравнение равновесия для N –го элемента имеет вид

                                            (1.44)

а для всего ансамбля элементов –

                                                  (1.45)

где i – номер шага нагружения, на котором вычисляются перемещения узловых точек ансамбля элементов.

         Для первого шага нагружения остаточная погрешность равновесия сил и матрица начальных напряжений равны нулю:  а уравнение равновесия для первого шага  После первого шага вычисляются новые координаты узловых точек, а также перемещения, деформации и напряжения. В конце шага N от напряжений  следует перейти согласно (1.30) или (1.36) к напряжениям , начальным для следующего шага N+1. Матрицы [K^G] и [K] пересчитываются на каждом шаге нагрузки (или связанного с ней параметра). Соотношение  тоже может меняться от шага к шагу, поскольку зависимость напряжений от деформаций в общем случае нелинейна. Вычислив по (1.43) погрешность (невязку), на следующем шаге включаем ее в нагрузку, так что суммарная нагрузка равна  Это приводит к уменьшению погрешности в (1.45). Кроме того, уточнить значения перемещений можно с использованием итерационного процесса, когда внешняя нагрузка фиксируется, т.е. а уравнения для приращений принимают вид

                                                      (1.46)

Полученные приращения перемещения суммируются с предыдущими, затем вычисляются матрицы [K^G] и [K], находится погрешность равновесия сил затем вновь решается уравнение (1.46). Этот процесс продолжается до тех пор, пока приращения перемещений не станут меньше некоторой заданной малой величины погрешности

или такое же условие не будет выполнено для отношения норм остаточного вектора и полного вектора сил:

                                               .

Если в качестве параметра нагружения используется смещение границы расчетной области, итерационная процедура уточнения решения меняется. Кроме того, если шаг нагружения связать со временем, появляется возможность анализа задач с учетом эффектов вязкоупругости.

         При решении задач термоупругости алгоритм изменяется в связи с тем, что параметром нагружения является не приращение сил или перемещений на границе, а изменение температуры DТ во всей расчетной области. Такие задачи возникают при анализе внутренних напряжений в неоднородных конструкциях или в структурно неоднородном материале (когда его отдельные фазы имеют различные теплофизические характеристики) при его нагреве или охлаждении. В этом случае решение заключается в следующем. В начальном состоянии в материале при температуре Т₀ напряжения принимаются отсутствующими. Затем расчетная область охлаждается или нагревается (далее для определенности будем считать, что рассматривается процесс охлаждения) на величину DТ, и параметры ее напряженно-деформированного состояния определяются при температуре Т₀ - DТ.

         Элементное матричное уравнение метода конечных элементов в перемещениях на первом шаге имеет вид

                                                             (1.47)

Здесь  – произведение матрицы жесткости на вектор приращения перемещений;     – вектор приращения сил.

         При решении плоской задачи правая часть элементного уравнения (1.47) может быть представлена в виде

                                                    (1.48)

Здесь [B] – матрица, связывающая деформации и перемещения; [D] – матрица, описывающая механические свойства материала; {e₀} – вектор деформаций элемента, связанных с тепловым расширением aDТ; a - коэффициент линейного температурного расширения;       t – толщина; А – площадь элемента.

         Выражение (1.48) приводится к виду

                   (1.49)

где n - коэффициент Пуассона материала;

                                      b_i = y_j – y_k,    b_j = y_k – y_i,    b_k = y_i – y_j,

                               c_i = x_k – x_j,    c_j = x_i – x_k,    c_k = x_j – x_i,

величины х, у с индексами – координаты узлов треугольного элемента.

         Система разрешающих уравнений для ансамбля элементов на первом шаге может быть представлена в виде

                                                                         (1.50)

где – произведение матрицы жесткости на вектор приращения перемещений узлов сетки элементов, – вектор приращения сил, полученный в результате ансамблирования векторов (1.49).

         Система (1.50) решается методом Гаусса с учетом симметричности матрицы и ее ленточной структуры.

         На втором шаге, когда температура расчетной области изменилась, необходимо учесть возникшее в конце первого шага напряженное состояние, используя вместо (1.48) уравнение

Информация в лекции "Меры безопасности при обращении с противотанковыми гранатометами РПГ - 7" поможет Вам.

                                                (1.51)

Здесь – матрица жесткости, учитывающая начальные напряжения, полученные в конце предыдущего шага; – вектор остаточной погрешности равновесия сил, вычисленных на предыдущем шаге.

         Матрица жесткости [K] и вектор {F} вычисляются на каждом шаге, так как упругие характеристики и коэффициенты линейного температурного расширения отдельных элементов в расчетной области могут меняться вместе с температурой.

         Поля перемещений, деформаций и напряжений, полученные на текущем шаге, суммируются с аналогичными имеющимися характеристиками, и это состояние становится исходным для следующего шага. Далее процесс вычислений становится циклическим.

         Метод конечных элементов в приведенном варианте можно отнести к классу неявных схем, хотя, строго говоря, он не является классическим сеточным методом. Тем не менее по своей реализации он соотносится именно с неявными схемами, поэтому его можно использовать для решения статических или квазистатических задач. Время входит в уравнения, описывающие состояние расчетной области, лишь в качестве параметра (в нагрузку или в физические соотношения). В последнем случае это может быть связано, например, с учетом эффектов вязкоупругости.

         Величина шага конечно-элементной сетки влияет на точность результатов: с уменьшением размеров ячеек растет точность. Поскольку это связано с осреднением всех величин по ячейке, шаг сетки должен быть тем меньше, чем большими градиентами характеризуются рассчитываемые величины. Предложенный метод можно использовать для сеток с переменным шагом, но при этом необходимо учитывать, что резкое изменение размеров соседних ячеек приводит к уменьшению точности расчета.