Соотношения вязкоупругости
Соотношения вязкоупругости
Уравнения теории упругости не отражают зависимость процессов деформирования от скорости и времени. Эта зависимость для многих материалов, особенно полимеров, проявляется очень ярко. Такие материалы проявляют как мгновенную, так и замедленную реакцию на нагрузку, а это свойство называют памятью.
Различают два своего рода крайних проявления эффектов вязкоупругости.
В первом случае при фиксированной нагрузке сначала появляется деформация, отвечающая этому уровню нагрузки (мгновенная упругость), а потом деформация продолжает медленно расти. Этоя явление получило название ползучести – материал «ползет» при фиксированном уровне нагружения. Наглядно это можно представить в виде груза, подвешенного на тросе из вязкоупругого материала. Сначала такой трос растянется под действием нагрузки на некоторую фиксированную величину, а потом будет продолжать растягиваться с относительно малой скоростью.
Во втором случае фиксируется деформация, а сопротивление материала при такой деформации сначала имеет определенное значение (мгновенная упругость), но со временем начинает уменьшаться. Такой эффект получил название релаксации. Наглядно это можно представить в виде стержня, который растянули и зафиксировали это растяжение. Измерение напряжений в этом стержне дает их постоянно уменьшающийся уровень.
Другая особенность полимеров связана с тем, что в них сочетаются способности запасать энергию подобно упругим телам, а затем рассеивать ее подобно вязким средам. Такие материалы называют вязкоупругими.
Связь между напряжениями с деформациями для вязкоупругих материалов может быть записана различными способами. Одна из наиболее общих и распространенных форм записи выглядит следующим образом:
(1.8)
где компоненты тензора 
- так называемые функции релаксации материала. Эти функции характеризуют вязкоупругий материал, так же как модули упругости – упругий.
Рекомендуемые материалы
В безындексной форме (1.8) можно записать в виде
(1.9)
или, после интегрирования по частям,
(1.10)
причем считается, что 
при 
В этом соотношении первое слагаемое представляет собой упругую мгновенную реакцию среды на приложенную деформацию, а второе со временем все заметнее уменьшает внутренние напряжения в среде – что выше и названо релаксацией.
Функции релаксации должны быть положительными монотонно убывающими функциями времени.
Обратная форма соотношений вязкоупругости, когда деформации выражаются явным образом через функционал от напряжений, может быть записана в виде
(1.11)
где 
тензор функций ползучести. Функции ползучести являются положительными монотонно возрастающими функциями времени, которые могут как приближаться, так и не приближаться к асимптоте, не зависящей от времени.
Очевидно, что функции ползучести и функции релаксации не могут быть независимыми. Для установления связи между ними нужно применить преобразование Лапласа к (1.9) и (1.11). С использованием теоремы о свертке можно получить соотношения
(1.12)
где s – параметр преобразования, а надчерк означает изображение соответствующей функции-оригинала.
Из (1.12) можно получить
(1.13)
Для записи вязкоупругих соотношений часто используются так называемые комплексные модули.
Положим, что действительная и мнимая части деформации являются гармоническими функциями времени:
где ω – частота колебаний. Тогда, подставляя это в (1.9), получим
где 
комплексный модуль:
Люди также интересуются этой лекцией: Эндопротезы молочной железы.
(1.14)
где 
причем 
- асимптотическое значение С при t → ∞, т.е. 
Комплексная податливость вводится как результат тензорного обращения комплексного модуля.
В качестве характеристики вязкоупругого материала часто используется отношение мнимой части в (1.14) к действительной. Обозначим частную компоненту как C(t), и соответственно С*(ω), тогда тангенс потерь С*(ω) определится как
причем угол φ трактуется как угол запаздывания фазы изменения деформаций относительно напряжений при установившихся гармонических колебаниях в вязкоупругой среде.
