Решение упругих задач

Решение упругих задач

Краевая задача

         Наиболее общая форма записи соотношений между деформациями и напряжениями в упругом случае имеет вид

                    (1.1)

Это запись закона Гука в так называемом обобщенном виде. Постоянные  в этом выражении – тензор жесткостей, тензор четвертого ранга. В общем случае этот тензор содержит 81 компоненту. Поскольку тензоры деформаций и напряжений симметричны, число независимых компонент сокращается до 36. Когда речь идет об упругом материале, для которого существует такое понятие, как упругий потенциал, число независимых компонент  сокращается до 21. Для однородного материала эти компоненты не зависят от координат.

         Тензор малых деформаций определяется через компоненты перемещений соотношениями Коши

                                  (1.2)

         Поскольку в этом выражении 6 величин выражаются через три функции перемещений, они должны быть связаны уравнениями совместности вида

               (1.3)

Рекомендуемые материалы

         Формально в (1.3) 6 соотношений, но только 3 из них независимы. Эти соотношения можно записать и в напряжениях.

         Уравнения баланса импульсов (уравнения движения) имеют вид

                   (1.4)

Пренебрегая правой частью, получим уравнения равновесия.

         Добавляя к выписанным соотношениям граничные и начальные условия, получим замкнутую систему уравнений – 15 уравнений и 15 неизвестных. На границе расчетной области в каждой ее точке нужно определить либо три компоненты вектора напряжений, либо вектора перемещений. В смешанной форме граничные условия записываются, когда вдоль одного направления заданы 2 (1) компонента одного из этих векторов, вдоль другого 1 (2) компоненты другого вектора.

         В теории упругости показывается, что решение поставленной краевой задачи является единственным.

         Анализ конкретной среды, в том числе представляющей собой композит, связан с выбором соотношений между напряжениями и деформациями.

         В теории упругости напряжения выражаются через производную от энергии деформирования по деформации

                (1.5)

         Для получения выражения вида (1.1) необходимо, чтобы тензор постоянных был симметричным

         В итоге число независимых постоянных сокращается до 21.

         Дальнейшее сокращение числа упругих постоянных возможно в случаях, когда упругая среда обладает симметрией.

         Введем обозначения для компонент тензора напряжений

         и для компонент тензора деформаций

         Тогда при наличии 21 независимой упругой постоянной (1.1) можно переписать в векторно-матричном виде

где  - симметричная матрица. В сокращенной форме это соотношение можно представить в виде

Если материал имеет плоскость упругой симметрии, то число постоянных в этом соотношении сокращается до 13 независимых значений.

При наличии трех плоскостей упругой симметрии (например, ортогонально армированный материал) остается 9 независимых постоянных.

Для трансверсально изотропного материала одна из плоскостей ортотропии (предыдущий случай) становится плоскостью изотропии. В этом случае остается 5 упругих постоянных.

Наконец, в случае однородного изотропного упругого материала остается лишь две упругие постоянные, и матрица постоянных имеет вид

         В этом частном случае изотропии соотношения напряжения-деформации обычно записываются в виде

где λ и μ – постоянные Ламе.

         Если ввести шаровые тензоры деформаций и напряжений и соответствующие им девиаторы:

то соотношения напряжения-деформации можно переписать в виде

Здесь появилась «новая» постоянная k – объемный модуль. Фактически она не является новой независимой переменной, а выражается через ранее введенные величины. Если учесть, что на практике часто используются еще модуль Юнга при растяжении Е и модуль сдвига материала G, возникает впечатление обилия постоянных. На самом деле из всех постоянных независимы только две.

         Наиболее распространенные сочетания постоянных: модуль объемного сжатия k и модуль сдвига G; коэффициенты Ламе λ и μ; модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона ν. Переход от каждой пары к другой описывается, например, зависимостями вида

и т.п.

Теоремы о минимуме

         В теории упругости имеются два фундаментальных энергетических принципа, которые выполняются для любой упругой среды независимо от ее однородности, изотропности и т.д. В соответствии с этими принципами некоторый функционал энергетического типа принимает минимальное значение для действительных решений краевой задачи, в отличие от других «допустимых» значений переменных, описывающих НДС среды.

         Эти принципы формулируются в виде теорем о минимуме потенциальной энергии и о минимуме дополнительной энергии.

         Пусть отыскивается решение статической задачи теории упругости с заданными объемными силами  и граничными условиями

где S – полная поверхность тела объема V, состоящая из двух частей, на которых соответственно заданы напряжения или перемещения, n_j – компоненты единичной внешней нормали к поверхности.

         Определим далее функционал потенциальной энергии в виде

             (1.6)

где W  определяется по (1.5).

         Этот функционал представляет собой не что иное, как потенциальную энергию деформации за вычетом работы внешних объемных и поверхностных сил.

         Назовем допустимым полем перемещений такое поле , которое подчиняется граничным условиям в перемещениях, а в остальном произвольно (разве еще только непрерывно дифференцируемо). Тогда теорема о минимуме потенциальной энергии формулируется следующим образом:

         среди всех допустимых полей перемещений абсолютный минимум функционала потенциальной энергии (1.6) достигается лишь для истинного поля перемещений, т.е. такого, для которого выполняются все соотношения теории упругости.

         Доказательство этой теоремы основано на свойстве положительной определенности потенциальной энергии деформирования

*        *        *

         Теорема о минимуме дополнительной энергии формулируется аналогичным образом. Функционал дополнительной энергии определяется выражением

Рекомендуем посмотреть лекцию "Лекция 11".

                (1.7)

Здесь энергия деформирования (1.5) выражается через напряжения

тензор упругих податливостей.

         Определим допустимые напряжения как такие, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и условиям в напряжениях, а в остальном произвольны (с условием дифференцируемости).  Тогда теорема о минимуме дополнительной энергии:

         среди всех допустимых напряженных состояний реализуется такое, которое обеспечивает минимум функционала (1.7), при этом удовлетворяются уравнения совместности деформаций.