Связь угловых деформаций с касательными напряжениями. Закон Гука
3.2 Связь угловых деформаций с касательными напряжениями. Закон Гука
Рассмотрим грань параллелепипеда (см. рис. 3.2), когда на перпендикулярных к ней гранях действуют только касательные напряжения (чистый сдвиг). Из-за действия касательных напряжений ребро bc сместится в положение b1c1. Отрезок bb1 представляет собой абсолютный сдвиг и измеряется в единицах длины. Как видно из рисунка 3.2 абсолютный сдвиг зависит от длины ребра ab. Поэтому определяют не абсолютный, а относительный сдвиг, как отношение абсолютного сдвига к расстоянию между рассматриваемыми гранями bb1/ ab. Из треугольника аbb1 видно, что относительный сдвиг равен тангенсу угла 
. Поскольку для малых углов справедливо равенство 
, то относительный сдвиг можно представить углом 
, называемым углом сдвига.
Рисунок 3.2 Рисунок 3.3
Согласно закону Гука
, (3.6)
где G — модуль сдвига, модуль второго рода.
При объёмном напряжённом состоянии зависимость между угловыми деформациями и касательными напряжениями примут вид
Рекомендуемые материалы
(3.7)
На рис. 3.3 изображена деформация квадратной грани элемента. Диагональ ас грани вследствие деформации получила абсолютное удлинение 
. В силу малости деформации по сравнению с начальными размерами треугольник скс1можно считать равнобедренным и получить зависимость между и 
.
Длина диагонали 
. Отсюда
.
Сопоставляя рис. 1.14 б и 3.3 видим, что диагональ ас совпадает по направлению с первым главным напряжением, и поэтому её удлинение должно быть обозначено 
.
Из формулы (3.3) следует
.
При чистом сдвиге 
; 
; 
.
Приравняв 
и , получим
(3.8)
Таким образом, из трёх основных характеристик упругих свойств материала любые две берутся за основные, а третья считается их функцией.
Контрольные вопросы
Лекция "17. Управленческий цикл как процесс принятия и реализации управленческих решений" также может быть Вам полезна.
1. Какие деформации вызывают касательные напряжения?
2. Чему равны главные напряжения при чистом изгибе?
3. Что такое модуль сдвига? Его размерность? Какое свойство материала он характеризует?
4. Напишите зависимость модуля сдвига от модуля продольной упругости.
5. Влияют ли размеры детали на модуль сдвига?
