Приложение магнитной гидродинамики к плазме

тема 4

магнитная гидродинамика плазмы

лекция 8

Приложение магнитной гидродинамики к плазме

1. Модель проводящей жидкости

Для приближённого описания плазмы можно использовать модели, рассматривающие плазму как сплошную среду. Простейшей из них является модель проводящей жидкости. Наука, изучающая движение проводящих жидкостей или газов посредством совместного решения уравнений гидродинамики и электродинамики, называется магнитной гидродинамикой. Модель проводящей жидкости описывает свойства плазмы в приближении магнитной гидродинамики.

Уравнения движения проводящей среды имеют ту особенность, что в них кроме силы давления входит сила:

                                           ,                                                 (1)
действующая на единичный объём вещества.

Если пренебречь вязкостью и другими диссипативными процессами, то уравнение движения плазмы в приближении магнитной гидродинамики будет иметь вид:

Рекомендуемые материалы

                              ,                                     (2)
где  – плотность вещества ().

Здесь  – ускорение рассматриваемого «элемента вещества», или, как говорят в гидродинамике, ускорение «жидкой частицы». В применении к плазме роль «жидкой частицы» играет совокупность очень большого числа заряженных частиц, но эти частицы выбраны и зафиксированы. Такое рассмотрение движения сплошной среды, когда следят за траекторией выбранного элемента вещества, называется представлением Лагранжа. Ускорение  есть производная, взятая вдоль траектории данного элемента вещества; её называют лагранжевой производной или субстанционной производной, чтобы подчеркнуть, что она  относится к выбранному элементу вещества (субстанции). При рассмотрении картины движения сплошной среды в пространстве используется и другое представление, которое называется представлением Эйлера. В этом представлении следят за изменением скорости движения в выбранной точке пространства  или, как её называют, эйлеровой производной. Связь между лагранжевой и эйлеровой производными следующая:

                                  .                                         (3)

Плотность тока по закону Ома в приближении магнитной гидродинамики имеет вид:

                                    ,                                           (4)
где  – проводимость плазмы.

Главный недостаток приближения магнитной гидродинамики в том, что проводимость рассматривается как физическая константа вещества, что в применении к плазме может оказаться весьма далёким от действительности. Уравнения (2), (4) должны решаться совместно с уравнениями Максвелла. В приближении магнитной гидродинамики рассматриваемые процессы считаются медленными и можно пренебречь током смещения. Тогда из уравнений Максвелла следует, что:

                                        .                                               (5)

Уравнение (2) принимает вид:

                        .                               (6)

Из векторного анализа известно, что:

                        ,

откуда:

              .

Тогда имеем:

            .                   (7)

Если магнитное поле меняется только поперек своего направления, то второй член правой части уравнения (7) обращается в нуль (нужно учесть, что ), а само уравнение принимает вид:

                              ,                                     (8)

где  – ускорение поперек магнитного поля.

Таким образом, движение плазмы поперек магнитного поля происходит так же, как если бы на неё кроме давления  действовало ещё и магнитное давление .

Силу  в уравнении (8) можно рассматривать как силу магнитного давления.

Важнейший вывод из модели сплошной среды заключается в том, что на плазму может оказывать воздействие сила магнитного давления. Отсюда следует ряд важных в научном и практическом отношении следствий: плазму можно удерживать магнитной стенкой, толкать магнитным поршнем, плазменные сгустки можно выстреливать из магнитной пушки и др.

2. Модель двух жидкостей

Ранее проводимость  вводилась как феноменологическая характеристика плазмы. Чтобы найти её значение и выяснить физический смысл, необходимо кроме движения плазмы как целого учесть также относительное движение электронов и ионов. Это делается в более детальной модели двух "жидкостей": электронной и ионной, движущихся одна сквозь другую. Электрическое сопротивление плазмы рассматривается при этом как результат взаимного трения этих двух "жидкостей".

Запишем уравнение движения электронов и ионов в виде, аналогичном уравнению (2), считая, что на электроны действует только электронное давление , на ионы – только ионное давление . Взаимное трение, то есть передачу импульса при взаимодействии между частицами, учтем введением сил трения  и , которые должны удовлетворять третьему закону Ньютона. Удобнее писать уравнения не для скорости, а для импульса. Тогда движение электронов и ионов будет описываться в гидродинамическом приближении системой уравнений:

,                 (9)

.               (10)

Сила трения , испытываемая электронами, пропорциональна концентрации ионов (), а сила трения , испытываемая ионами, – концентрации электронов (). Представим эти силы как произведения коэффициента вязкого трения  на разность скоростей и на концентрации тормозящих частиц. Тогда уравнения (9) и (10) примут вид:

,   (11)

.   (12)

Плазма удовлетворяет условию квазинейтральности:

                          , или .                               (13)

Плотность тока:

                                .                                     (14)

Из (13) и (14) можно получить, что:

                                    .

Если сложить уравнения (11) и (12) с учетом (13) и (14), то силы электрического поля и трения уничтожаются. Уничтожение электростатических сил является следствием квазинейтральности, уничтожение сил трения – следствием третьего закона Ньютона. В результате получится уравнение магнитной гидродинамики (2), в котором роль скорости течения плазмы  играет среднемассовая скорость:

                  .                                  (15)

Пренебрегая массой электронов в сравнении с массой ионов, можно считать, что .

В этом приближении из (14) скорость электронов:

                                       .                                            (16)

Рассмотрим более подробно силы трения. Из законов механики следует, что передача импульса при взаимодействии пропорциональна приведённой массе  взаимодействующих частиц:

                                     .

Представим коэффициент трения в виде:

                                  .                                       (17)

Определим размерность величин  и :

             , ;

        , .

Величины  имеют размерность частоты. Это эффективные частоты передачи импульса от электронов к ионам и от ионов к электронам. По аналогии с кинетикой нейтральных частиц, где передача импульса происходит при столкновениях, величины  часто называют эффективными частотами столкновений.

Из (17) следует, что .

Величину, обратную , называют временем передачи импульса:

                                              .

С учетом (16) и (17) уравнения движения принимают вид:

,     (18)

     ,          (19)

в этом уравнении членом  следует пренебречь.

Отметим, что  можно рассматривать как электрическое поле в сопутствующей системе координат, движущейся со средней массовой скоростью плазмы.

Чтобы иметь полную систему макроскопических уравнений модели двух жидкостей, нужно кроме уравнения для массовой скорости получить уравнение для плотности тока, которое называют обобщенным законом Ома. В общем случае получение этого уравнения осложняется тем, что лагранжевы производные содержат нелинейные члены:

                                  .

Простые формы обобщенного закона Ома могут быть получены для двух случаев:

1) стационарного, когда производные по времени вообще равны нулю;

2) для колебаний малой амплитуды, когда можно пренебречь нелинейными членами и заменить лагранжевы производные на частные производные по времени (линейные колебания).

Если пренебречь членами вида , вычесть первое уравнение из второго и отбросить члены, содержащие в знаменателе массу  (то есть пренебречь ускорением ионов), то с учетом равенства  получим обобщенный закон Ома в виде:

      ,

или:

                  ,                       (20)

при этом величина  в уравнении (20) есть время передачи импульса от электрона к ионам:

                                             .

Уравнения (2) и (20) образуют полную систему уравнений модели двух жидкостей.

3. Вязкое течение

Взаимодействие между одинаковыми частицами проявляется как вязкость. Действие вязкости может быть учтено введением в уравнение магнитной гидродинамики (2) добавочного члена по аналогии с уравнением Навье-Стокса в гидродинамике.

Как известно из гидродинамики, сила вязкого трения выражается как , где  – вязкость вещества. Эту силу надо добавить к выражению для ускорения элемента вещества . Следовательно, уравнение движения для вязкого течения (2) примет вид:

                        ,                             (21)

где  – кинематическая вязкость.

4. Проводимость плазмы

Для простейшего случая постоянного тока в однородной плазме уравнение обобщенного закона Ома (20) принимает вид:

                           ,                                (22)

где  – электронная циклотронная частота:

 – единичный вектор в направлении магнитного поля.

При отсутствии магнитного поля или для составляющей тока вдоль его направления векторное произведение  обращается в нуль, и из уравнения (22) получится продольная составляющая проводимости плазмы:

                                        .                                             (23)

Для нахождения поперечной проводимости расписываем уравнение (22) в составляющих. Если направить ось z вдоль магнитного поля, то:

                                ,

                                .

Поперечная проводимость плазмы есть величина тензорная, то есть:

                         ,

                         ,

                         ,

или:

                                       .

Чтобы найти компоненты этого тензора, достаточно умножить одно из уравнений на , прибавить ко второму или вычесть из него, чтобы получить:

                     ,

                     .

Отсюда тензор проводимости однородной плазмы для постоянного тока имеет вид:

                     .                          (24)

В явном виде составляющие плотности тока выражаются формулами:

                              ,

                              ,

                                         .

Отметим, что если  – большое число, то в этом случае поперечная проводимость должна быть гораздо меньшей продольной и уменьшаться обратно пропорционально квадрату циклотронной частоты, то есть квадрату индукции магнитного поля. Ток должен течь не только вдоль электрического поля, но и поперек него (холл-эффект). В реальных условиях проводимость плазмы сильно осложняется пространственной неоднородностью, вызывающей электрическое поле поляризации, а также дрейфовые токи и ток намагничивания.

5. Приближение идеальной проводимости

Во многих задачах от приближения магнитной гидродинамики можно перейти к ещё более упрощенному способу рассмотрения плазмы, устремив проводимость  к бесконечности. Такое приближение носит название приближения идеальной проводимости. При бесконечной проводимости сколь угодно малое электрическое поле вызывало бы бесконечно большой ток, что требовало бы бесконечно большой затраты энергии, и поэтому невозможно. Следовательно, в приближении идеальной проводимости электрическое поле в системе координат, связанной с плазмой, должно равняться нулю:

                                   ,                                        (25)

откуда:

                                         .

Векторное произведение  зависит только от составляющей скорости, перпендикулярной к магнитному полю . Поэтому можно записать, что:

Вместе с этой лекцией читают "3 Гигиена девочки школьного возраста".

                                        .                                             (26)

Таким образом, условие (25) накладывает определенное требование на скорость движения плазмы поперек магнитного поля ; скорость вдоль магнитного поля  может иметь любое значение. Чтобы получить значение , достаточно умножить (26) векторно на  справа. Получим:

                ,

так как скалярное произведение . Таким образом, имеем:

                                         .                                              (27)

В скрещенных магнитном и электрическом полях идеально проводящая среда должна двигаться со скоростью, определяемой формулой (27). Такое движение называется дрейфом. Существует несколько разновидностей дрейфа, но только для дрейфа в скрещенных магнитном и электрическом полях скорость дрейфа одной частицы совпадает со скоростью плазмы в целом. Этот вид дрейфового движения называется электрическим дрейфом.