Основные теоремы электродинамики

Раздел 10. Основные теоремы электродинамики

10.1. Принцип предельного поглощения и условия излучения на бесконечность

Рассмотрели при формулировании условия единственности решения внешних задач электродинамики (уравнений Максвелла).

10.2. Лемма Лоренца

Лемма Лоренца устанавливает взаимосвязь между разнесенными в пространстве сторонними источниками и возбуждаемыми ими электромагнитными полями.

Предположим, что в точке 1 находится сторонний источник, который характеризуется , , , .

В точке 2 расположен другой источник , , , .

Очевидно, что взаимосвязь между ними может быть описана уравнениями Максвелла:

Рекомендуемые материалы

                                1

                             2

                Аналогично для второго источника:

                                                          3

                                                        4

( 1) скалярно умножим на . (4) умножим на и вычтем из 2-ого результата 1-ый:

      5

( 2) умножим скалярно на . (3) на и из 1-ого результата вычтем 2-ой:

        6

Вспомним известное векторное тождество:

Используя иго (5) и (6) можно переписать следующим образом:

                 7

                 8

Из (7) вычтем (8):

                 9

( 9) называется леммой Лоренца в дифференциальной форме (соотношение справедливо в каждой точке пространства, где имеются сторонние источники).

Проинтегрируем (9) по объему который включает все сторонние источники:

           10

Левую часть (10) преобразуем, используя теорему Остроградского-Гаусса. В соответствии с этой теоремой

                               11

где S₁ — замкнутая поверхность, ограничивающая объем.

Тогда, с учетом (11), соотношение (9) запишется в следующем виде:

                   12

— лемма Лоренца для ограниченного объема.

Рассмотрим случай бесконечного увеличения объема V₁. При этом поверхность S₁ размещается в бесконечно удаленных точках относительно расположения сторонних источников. В случае неограниченного объема V₁ поверхностный интеграл в (12) равен 0. Это можно объяснить, используя 2 аргумента:

1) поверхность S₁ удалена на бесконечность. Скорость распространения имеет конечное значение, т. е. за любой конечный промежуток времени волны не смогут достигнуть поверхности S₁ , т. е. на поверхности S₁ отсутствуют составляющие поля, а, следовательно, интеграл по этой поверхности будет равен нулю.       

2) 2) как нам известно в ДЗ амплитуда составляющих поля убывает пропорционально 1/r. В случае реальных сред, которые характеризуются малыми, но конечными по величине потерями, амплитуда убывает еще быстрее. Таким образом, в реальных средах векторное произведение в ДЗ убывает быстрее, чем 1/r². Площадь сферы с ростом r возрастает пропорционально r². Таким образом, предел при :

Таким образом в случае неограниченного объема V₁ лемма Лоренца записывается в следующей форме:

                        13

3) 10.3. Теорема взаимности для двух элементарных излучателей

Пусть в некоторой точке 1 находится ЭЭИ, который характеризуется ,

В точке 2 второй излучатель: ,

Обозначим — напряженность электрического поля возбуждаемого 1-ым излучателем в месте расположения 2-ого. И соответственно .

       Для данной задачи лемма Лоренца:       

                                                                          1                                          

Интеграл в (1) отличен от нуля только в точках пространства, где отлична от 0, т. е. в пределах объемов занимаемых излучателями. Поэтому (1) можно переписать следующим образом:     

или                                                  2

где V_В1 и V_В2 объемы, занимаемые 1-ым и 2-ым излучателями (вибраторами). Ввиду малости излучателей можно считать, что                                             , 

Из сделанных выводов можно записать:

   3

Элементы объема dV можно записать следующим образом  1:

                            2:

где  и  — площадь поперечного сечения 1-ого и 2-ого излучателей.

Учитывая, что d ЭЭИ << длины можно предполагать, что амплитуда векторов объемной плотности электрического тока в пределах поперечного сечения неизменна:                     

В силу малости ЭЭИ, амплитуду тока можно считать неизменной. Поэтому можно вынести за знак интеграла:

                                    4

                                         5

Теорема взаимности ЭЭИ. Позволяет определить любую из величин входящих в (5).

Теорема взаимности может быть получена для ЭМИ. Используя лемму Лоренца и аналогичные преобразования легко можно получить:

                                       6

Используя лемму Лоренца можно получить и для разноименных излучателей. В этом случае лемма Лоренца выглядит следующим образом:

После преобразований в итоге получим:       

                                           7

1 — ЭЭИ, 2 — ЭМИ.

4) 10.4. Эквивалентные источники электромагнитного поля. Принцип Гюйгенца-Кирхгофа.

Часто распределение сторонних источников бывает неизвестно, но зато бывает известным распределение поля на некоторой замкнутой поверхности, охватывающей область с источниками.

Задача формулируется так:

"Определить поле, создаваемое сторонними источниками с неизвестным распределением в области V по заданному распределению электромагнитного поля на поверхности S, охватывающей объем V".

Поле на внешней стороне поверхности S обозначим , поле на внутренней  стороне поверхности S

На поверхности S существуют заряды и токи. В силу непрерывности  электромагнитного поля на поверхности S должны выполняться следующие граничные условия:                                         1

                                                           2

                                                                   3

                                                                4

Попытаемся переформулировать задачу таким образом, чтобы стала традиционной: была связана с расчетом электромагнитного поля по известному распределению сторонних источников. Для этого воспользуемся следующим искусственным приемом. Предположим, что на внутренней части поверхности S поле отсутствует , тогда на границе S будут нарушены граничные условия (1) — (4), т. е. на границе поверхности S будет происходить разрыв непрерывности составляющих электромагнитного поля. При сохранении составляющих электромагнитного поля на внешней стороне поверхности S и соблюдении непрерывности составляющих поля на границе, введем на поверхности S фиктивные источники (виртуальные).

Обобщенное граничное условие:

                             5                                                        

                               6

По аналогии с электрическими источниками могут быть введены источники магнитные.

                             7

                                 8

В соответствии с этим приемом было сделано предположение об отсутствии поля на внутренней поверхности S. С учетом этого получим выражение для фиктивных источников на поверхности S.

                                              9

                                                  9’

                                               10

                                             11

                                                 11’

                                               12

В природе не обнаружено магнитных источников, и они вводятся в задачи с целью упрощения решения. В данном случае фиктивными являются не только магнитные, но и электрические источники, распределенные на поверхности S.  На поверхности S существуют известные распределения электромагнитного поля. Используя   (9) — (12), распределение электромагнитного поля мы заменяем известное распределение распределением фиктивных источников (поверхностных током и зарядов).

По известному распределению сторонних источников на поверхности S надо определить поле во внешнем, по отношению к поверхности S.

Токи и заряды фиктивных источников связаны между собой уравнением непрерывности

                                            13

                                            14

т.е. поверхностные заряды можно определить, используя  (13), (14) по распределению поверхностных токов. Т. е. нам для решения задачи достаточно знать распределение поверхностных токов на поверхности S.

Таким образом, для решения задачи достаточно знать распределение тангенциальных составляющих электромагнитного поля на поверхности S.

В результате представленных преобразований исходная задача: определение поля во внешнем пространстве по заданному распределению электромагнитного поля на замкнутой поверхности S  ограничивающей область V  c неизвестным распределением реальных источников мы свели к задаче по вычислению поля во внешнем пространстве по известному распределению фиктивных источников на поверхности S. Сформулировали принцип, названный принципом эквивалентности. Принцип эквивалентности тесно связан с известным принципом Гюйгенса-Кирхгофа. В соответствии с этим принципом, каждая точка фазового фронта распространяющейся волны может рассматриваться как точечный источник сформированной волны.

Пусть в момент времени t₁ поверхность равных фаз Y₀ описывается поверхностью S₀. В момент времени t₁+Dt, очевидно, поверхность равных фаз с фазой Y₀  уже не будет совпадать с поверхностью S₀, она сместится. Для определения ее нового положения в  момент времени t₁+Dt мы каждую точку фазового фронта S₀ рассмотрим как точку источника сферической волны. Огибающая по этим сферам S₁ (с учетом направления распространения волны) будет соответствовать с поверхностью равных фаз с фазой Y₀  в момент времени t₁+Dt .

Аналитически принцип Гюйгенса сформулирован Кирхгофом, поэтому его так назвали.

Принцип Гюйгенса-Кирхгофа применим и к поверхностям, которые не совпадают с фазовым фронтом волны. В этом случае, определяя возбуждение точечных источников нужно учитывать фазовый сдвиг каждого из них. Принцип Гюйгенса-Кирхгофа широко применяется в теории антенн при вычислении поля излучаемого апертурными антеннами.

         Обычно полагается, что эти антенны изготовлены из идеального металла. Обычно в результате вычислений удается вычислить поле в излучающей апертуре.

         В соответствии с принципом эквивалентности эту апертуру надо окружить замкнутой поверхностью. Обычно эту поверхность располагают так, чтобы она совпадала с излучающей апертурой и неизлучающей поверхность антенны. Поле считается заданным только в излучаемой апертуре, т.к. эти антенны предполагаются изготовленными из идеального металла, то на неизлучающей поверхности , то очевидно и поверхностный магнитный ток .

         При расчетах антенн пренебрегают затеканием

поверхностного электрического тока на не излучаемую поверхность антенны , т. е. .

         Таким образом,  на замкнутой поверхности, обтягивающей антенну тангецыальные компоненты поля равны нулю везде, кроме S_S (излучаемой поверхности).

         Далее задачу решают следующим образом. Используя принцип эквивалентности в излучающем  раскрыве переходят от известного распределения электромагнитного поля к известному распределению фиктивных источников.

         Обычно в дальнейшем при вычислении поля используют принцип суперпозиции, т. е. излучающий раскрыв разбивают на элементарные площадки (с тем, чтобы в пределах каждой площадки распределение токов и фаз можно было считать постоянными).

Затем вычисляют поле в точке наблюдения как сумму полей, создаваемых отдельными элементарными площадками. Эти поверхностные элементарные излучатели называются элементами Гюйгенса.

1. 10.5. Элемент Гюйгенса

         В качестве элемента Гюйгенса можно рассматривать элементарный фрагмент фазового фронта распространяющейся волны.

Переходим к токам               

         Учитывая, что размеры площадки маленькие, можно считать, что амплитуды этих токов постоянны. Ведем сферическую систему координат с центром в середине площадки. В пределах этой площадки протекают токи. Эти токи будут ортогональны друг другу. Амплитуда их считается неизменной.

         Таким образом, задача нахождения поля, возбуждаемого элементом Гюйгенса, эквивалентна задаче нахождения поля, возбуждаемого находящимися в одной плоскости ортогональными друг другу электрическим и магнитным излучателями.

         Вычислим поле, возбуждаемое подобной системой в плоскости ZOY (плоскость вектора Е). При этом

Соотношения для поля в ДЗ ЭЭИ

Преобразуем                                                 

               1

                                                   2

Соотношение для ЭМИ                         

                    Преобразуем                                  3

                                                4

         Расчет проведем для электрического вектора. Определим поле, возбуждаемое ЭЭИ, в плоскости ZOY, длинна которого

Определим поле электрического вектора в плоскости ZOY, возбуждаемое ЭМИ

Плоскость ZOY перпендикулярна ЭМИ т. е. она находится в максимуме излучения ЭМИ т. е. в соотношении

( 3 ) q примем равным 90⁰ (т. е. sinq=1). Найдем результирующее поле:

               5

         Аналогичным образом получим выражения для поля в плоскости ЭМИ (XOZ).   Для плоскости угла j:         

                                        6                                      

“—” относится к Х>0, “+” относится к X<0.

         Получим выражение для результирующих электрических полей в 2-ух ортогональных плоскостях в ДЗ. При произвольных q и j результирующее поле выглядит так:

                             7

                                  8

Если отношение , тогда ( 7 ) и ( 8 ) упрощаются:

                                  9

                                 10

         Абсолютная величина электрического вектора в произвольной плоскости проходящей через ось Z:

                             11

Она не зависит от угла j так как поле по углу j является асимметричным.

         Кроме того из ( 11 ) видно, что элемент Гюйгенса обладает направленными свойствами.

Бесплатная лекция: "33 Природные яды" также доступна.

Из ( 11 ) следует, что нормированная диаграмма          

И в полярной системе координат.

         По найденным выражениям электрического поля ( 9 ) и ( 10 ) можно вычислить магнитное поле используя следующее соотношение:            

где направлен от центра элемента Гюйгенса к точке наблюдения.

         Раскрывая, получим                                             

Итак, мы знаем 3 типа ЭИ: ЭЭИ, ЭМИ, элемент Гюйгенса (2 перекрещенных ЭИ).