Основные законы магнитного поля
§ 3.3. Основные законы магнитного поля.
Для электрического поля в вакууме были выведены две важнейшие теоремы:
-теорема Гаусса 
,
-теорема о циркуляции 
.
Найдем аналогичные соотношения для 
.
Рассмотрим магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность. Пусть ток 
направлен к нам, перпендикулярно плоскости рисунка. Силовые линии – окружности, части которых приведены на рис.3.10. Нарисуем произвольную замкнутую поверхность. Выберем на ней элементарную трубку 
. Потоки через сечения 
и 
равны и противоположны по знаку. Общий поток через трубку равен нулю. Всю поверхность можно разбить на такие трубки, то есть:
. (3.23)
Это теорема Гаусса для вектора . Из соотношения (3.23) следует, что магнитные заряды отсутствуют. Линии не имеют начала и конца, они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность.
Сравнение с теоремой Гаусса для электрического поля приводит к возникновению вопроса о магнитных зарядах. В качестве магнитного заряда можно рассматривать 
и 
полюса магнитного диполя. Квантуются ли магнитные заряды, неизвестно. Это незнание следует из невозможности выделения изолированных полюсов: магнитные полюса существуют в природе лишь в виде диполей.
Рекомендуемые материалы
В 1931 г. Дирак выдвинул теоретическое предположение в пользу возможности существования квантованного магнитного заряда (монополя), величина которого связана с зарядом электрона как: 
. Предполагалось, что существует элементарная частица, подобная электрону, несущая магнитный заряд 
. При этом должно выполняться следующее соотношение масс:
.
Экспериментального доказательства существованию монополя до сих пор нет.
Теперь рассмотрим теорему о циркуляции для . Будем исходить из выражения (3.16), полученного для индукции магнитного поля тока, текущего по бесконечному прямолинейному проводнику (рис.3.11). Силовые линии – концентрические окружности с центром на линии токов. Величина :
Вычислим 
по произвольному контуру 
, лежащему в плоскости, содержащей силовые линии .
; 
;
, (3.24)
так как 
. Если не охватывает ток 
, то, как видно из рис.3.12:
.
Итак:
При большом числе токов в контуре, охватывающем часть из них, в силу принципа суперпозиции в каждой точке.
. (3.25)
В общем случае, теорема о циркуляции вектора , или закон полного тока, записывается:
, (3.26)
где - полный ток (или сумма токов), охватываемый контуром 
. Выведем его в дифференциальной форме. Учтем, что:
;
;
, (3.27)
или
. (3.28)
Это - дифференциальная форма закона полного тока. В такой форме он имеет локальный характер и справедлив в любой точке.
Из закона о циркуляции следует, что магнитное поле не потенциально. Так как силовые линии поля замкнуты, то оно является вихревым.
Следующие четыре уравнения для 
совместно носят название уравнений Максвелла для вакуума:
; (3.29)
. (3.30)
Физический смысл этих уравнений таков.
- Уравнения (3.29) описывают тот факт, что силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных; силовые линии магнитного поля замкнуты (поле вихревое).
- Уравнения (3.30) показывают, что электростатическое поле потенциально; магнитное поле, создаваемое токами (движущимися зарядами), не потенциальное, вихревое.
Сравним еще раз также формулы для электрического и магнитного диполей и полей на их оси:
(3.31)
Видно, что магнитные и электрические диполи ведут себя одинаково. Почему? Потому что при 
и 
, то есть вдали от зарядов и токов, уравнения Максвелла одинаковы (правые части 
и 
обоих векторов равны нулю). Но физически источники этих полей различны: циркулирующий ток, пара зарядов.
Примеры.
1. По проводу круглого сечения радиуса 
течет ток плотности . Найти 
.
Используем теорему о циркуляции вектора (3.26):
Выберем контур так, чтобы он проходил по силовой линии магнитного поля (в данной задаче – это окружность). Рассмотрим два случая.
1. Радиус контура 
. Ток внутри контура 
. Тогда:
. (3.32 а)
В векторной форме:
.
2. 
Радиус контура 
. Так как ток течет лишь по сечению провода, то 
.
В векторной форме:
Ещё посмотрите лекцию "Вербальные и невербальные компоненты коммуникации" по этой теме.
. (3.32 б)
График зависимости 
приведен на рис.3.13.
2. Найти индукцию магнитного поля тороида (
и 
- радиусы).
Силовые линии – окружности, центр которых в центре тора. Ясно, что там, где нет витков, то есть при 
, 
. При 
. (3.33)
При 
: , так как ток пересекает площадь контура дважды в различных направлениях.
