Услуга: Любая задача из типового расчёта

Задание 1.  Вычислить значение Z и оценить абсолютную и относительную погрешности  результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления по дополнению. Записать результат с учетом погрешности. Указать верные цифры. Задание 2.  До скольких значащих цифр следует округлить число x 0 =10/7, чтобы погрешность вычисления величины f(x0 ) не превосходила 0,01%? Задание 3.  Локализовать корень нелинейного уравнения f(x)=0 и найти его методом бисекции с точностью  ε 1 =0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε 2 =0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε 2  число итераций.

Задание 4.  Дан многочлен третьей степени P(x)=x 3 +bx 2 +c. Методом Ньютона найти действительный корень многочлена, расположенный на интервале (-3, 0) с точностью ε=10 -6 Задание 5.  Вычислить нормы ‖∙‖ 1 , ‖∙‖ E , ‖∙‖ ∞  матрицы А и нормы ‖∙‖ 1 , ‖∙‖ 2 , ‖∙‖ ∞  вектора b. Задание 6.  Определить погрешность решения СЛАУ Ax=b, если элементы матрицы А заданы точно, а элементы вектора правых частей b получены в результате округления. Задание 7.  Решить систему уравнений Ax=b методом Гаусса (LU-разложения). Задание 9.  Решить систему уравнений Ax=b методом прогонки. Задание 10.  Решить систему уравнений Ax=b с точностью 0,05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя. Указание. Для обеспечения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.

Задание 12.  Функция y=y(x) задана таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степеней. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов. Задание 14.  Для функции y=y(x), заданной таблицей своих значений, построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Используя их, вычислить приближенное значение функции в точке x 0 . Задание 15.  Для функции y=y(x), заданной таблицей своих значений, построить интерполяционный многочлен Ньютона. С его помощью вычислить приближенное значение функции в точке x 0  и оценить практически погрешность приближения.

Записать результат с учетом погрешности. Задание 17.  Вычислить приближенное значение интеграла ∫ a b  f(x)dx, используя квадратурные формулы: а) центральных прямоугольников с шагом h=0,4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0,4 и h=0,2 оценить погрешность последнего результата по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0,4. Задание 20.  Вычислить центральную и правую разностные производные функции f(x) с шагом h=0,1 в точке x 0 =(a+b)/2. Выполнить априорную оценку погрешности для каждой формулы, сравнить с точным значением производной. Записать результат с учетом погрешности. Задание 22.  Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка  { y \' =f (t, y) { y (t0 ) =y 0 на отрезке [t 0 ,T] с шагом h=0,2: а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге.

Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений. Задание 25.  Методом конечных разностей найти решение краевой задачи  { –y \'\' +q(x)y=f(x) { y(0)=y 0 ,   y(1)=y 1 с шагами h 1 =1/3, h 2 =1/6 и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений. Задание 27.  Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности { ∂u = k ∂2u + f(x,t),  a  ∂t        ∂x 2 { u(a,t) = g 1 (t), u(b,t) = g 2 (t),   0{ u(x,0) = φ(x),   a≤x≤b, используя явную разностную схему. Взять h=(b-a)/10, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при τ=0,2τ,4τ,...,T..