Линейный гармонический осциллятор

§ 4.4.  Линейный гармонический осциллятор.

Частица, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. В принципе, если амплитуда колебаний мала, их можно рассматривать как гармонические. Гармонические колебания, рассматриваемые в атомной физике – это колебания атомов в узлах кристаллической решётки, колебания атомов в молекуле и т. д. Как же зависит энергия линейного гармонического осциллятора от энергетического состояния атома, то есть от его главного квантового числа? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо найти собственные значения оператора Гамильтона. Для линейного гармонического осциллятора он имеет вид: . Распишем теперь каждое слагаемое: , , ; . Тогда оператор Гамильтона примет вид: . Чтобы найти собственные значения оператора Гамильтона, подставим ей в уравнение Шредингера: . Осуществим замену переменных: , , . После подстановки новых переменных, получим: ; . . Введём обозначение: . Тогда уравнение Шредингера примет вид:     (1). Решим это уравнение. Получим выражение для  при .  В данном случае можно пренебречь во втором слагаемом первым слагаемым. В итоге получится уравнение: . Решение данного уравнения таково: . Волновую функцию  на всей области определения  будем искать в виде: , где  – некоторая функция. Чтобы  было конечным,  не должно расти быстрее, чем .  Подставляя данный вид решения в уравнение (1), получим: . Будем искать функцию  в виде полинома: . Подставляем полином в уравнение для : , .Таким образом, . Данный многочлен будет равен нулю только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях  равны нулю: . Из этой формулы получается рекуррентное соотношение для коэффициентов :    (2). Рассмотрим, к чему стремиться отношение  при : . Это значит, что при  . Действительно, разложим экспоненту в ряд Тейлора и посмотрим на поведение коэффициентов  ряда при больших . ; таким образом, . Итак, . Оборвём теперь ряд на члене с номером  и переобозначим  в . Мы можем сделать так, если , а . Это достигается в том случае, когда  (следует из рекуррентного соотношения), . Возвращаясь к значению , получим: . Отсюда . Минимальная энергия, которой может обладать квантовая частица, как следует из этого соотношения, будет . Эта энергия называется энергией вакуума. Таким образом, квантовомеханическая частица не может находиться в состоянии покоя. Иначе это противоречило бы соотношению неопределённостей. Наличие этой минимальной энергии доказывается экспериментально. Доказательство существования минимальной энергии было проведено в экспериментах по рассеянию света кристаллами. Если с уменьшением температуры амплитуда колебания атома уменьшается и стремиться к нулю, то в соответствии с законами классической механики, начиная с некоторой температуры, рассеяние света должно вообще прекращаться. В квантовой механике амплитуда колебаний атома должна стремиться не к нулю, а к некоторому предельному значению, обусловленному наличию нулевой  энергии. Поэтому при понижении температуры, интенсивность рассеяния будет стремиться к некоторому пределу, что и наблюдалось в опыте.

Найдём теперь собственные функции. Из выражения (2) следует, что чётность функции  совпадает с .  Таким образом, , . Положим, что . Тогда остальные коэффициенты определим через рекуррентное соотношение: , с учётом выражения , получим: . Аналогично, . Полином, в котором , а , называется полиномом Эрмита: . Из свойств полинома Эрмита следует, что . Тогда волновая функция , принадлежащая собственному значению  может быть представлена в виде: , где . Коэффициент  находится из условия нормировки: . Отсюда . Тогда волновая функция окончательно примет вид: . Итак, мы получили выражения для собственных функций оператора Гамильтона.