Движение в поле центральных сил
§ 4.5. Движение в поле центральных сил.
Рассмотрим движение электрона в центрально-симметричном кулоновском поле ядра. Уравнение Шредингера для частицы в центрально-симметричном поле имеет вид: . Будем рассматривать для удобства движение частицы в сферической системе координат. Лапласиан в такой системе координат имеет вид: (1), где (1). Решение уравнения Шредингера будем искать в виде: . Подставляя решение в уравнение Шредингера, получим: . Разделяя переменные, можно записать: . Так как обе части этого уравнения входят независимые переменные и эти части равны, то мы должны положить . Таким образом, это уравнение распадается на два: (2) и (3). Решение уравнения (2) зависит от самого поля. Эта зависимость обуславливается наличием в уравнении . Рассмотрим поэтому сначала решение уравнения (3). Распишем лапласиан, связанный с поворотом тела в пространстве: . Производя некоторые простейшие преобразования, получим: . Так как не зависит ни от , ни от , то мы можем ввести некоторое переобозначение и рассматривать в дальнейшем это произведение как константу: . Тогда . Это уравнение допускает разделение переменных. Будем искать его решение в виде: . Подставляя его в последнее уравнение, получим: . Разделим на : , где – константа разделения. Разобьём это уравнение на две части: и , . Запишем систему . Решение первого уравнения данной системы имеет вид: . Из требования однозначности решения следует, что должно быть любым положительным или отрицательным числом. Поэтому все собственные функции дифференциального уравнения (4) могут быть представлены формулой: , где . Постоянная находится из условия нормировки и равна . Таким образом, . Решая уравнение (5), перейдём к новым координатам: . Тогда и ; . С учётом последних преобразований перепишем уравнение (5): . Чтобы привести данное уравнение к стандартному виду введём обозначение: , где – неотрицательное целое число. Тогда решением данного уравнения будет присоединённый полином Лежандра: . Причём, при заданном , может принимать только значение: . Волновая функция должна удовлетворять условию нормировки: ; . Так как и связаны однозначно, то мы можем переписать последний интеграл в виде: . Выражение, стоящее под внутренним интегралом, не зависит от , поэтому мы можем вычислять каждый интеграл по отдельности и полученные значения перемножить. Известно, что , где – символ Кронекера. Второй интеграл даёт значение . Собственная функция уравнения (5) запишется в виде: . Тогда с помощью условия нормировки, мы можем записать: . Подставляя данное значение в последнюю формулу, получим: . Мы получили угловую функцию, описывающую движение частиц в центрально – симметричном поле.
Для получения энергий стационарных состояний необходимо знать момент импульса системы. Это есть прямое следствие правил квантования. Рассмотрим моменты импульса частицы при движении в поле центральных сил: ; ; . Имеют место следующие правила коммутации: , , . Таким образом, нельзя одновременно указать два различных значения момента импульса. Однако можно показать, что . Это значит, что любая из проекций момента импульса и квадрат момента импульса могут иметь одновременно определённые значения. Так как рассматриваемое поле сферически симметрично, перейдём к сферической системе координат: . Тогда, ; ; , а . Найдём собственные значения операторов и . Для этого подействуем ими на функции и соответственно: или, с помощью уравнения (3), . Собственной функцией оператора является функция , то есть угловая часть волновой функции , а его собственным значением – . Вспоминая наше обозначение для : . Тогда, . Таким образом, мы нашли собственное значение для оператора . Посчитаем теперь собственное значение для оператора : . Подставляя значение функции , получим: . Таким образом, . Так как оператор имеет строго определённое значение, то операторы и конкретных значений не имеют и иметь не будут. Отметим также, что так как исходные функции, для которых искались собственные значения не зависят от вида центрально – симметричного поля, то и собственные значения и функции для всех таких полей будут одинаковы.
В атомной физике часто говорят, что момент импульса частицы равен , так как все функции нормируются на или на . Значение называют орбитальным квантовым числом, то есть числом, которое характеризует момент импульса электрона. В зависимости от того, какое значение принимает орбитальное квантовое число, состояние движения частицы с различными моментами импульса имеет разные названия.
Число называют магнитным квантовым числом. Им определяется поведение частицы в магнитном поле.