Лекция 5

Когда мы говорим о соотношении реальности и ее моделей, созданных нами, будь то модели реальных систем или систем проектируемых (планируемых), мы предполагаем, что существует критерий истинности модели, и что этим критерием является опыт (эксперимент).

Важно то, что не только опыт, эксперимент является критерием истинности модели, но и сама постановка эксперимента диктуется моделью, так как вытекает из необходимости ее проверки или уточнения.

Эксперимент, таким образом, есть ни что иное, как практическое взаимодействие с системами и получение информации.

Материальным носителем информации является сигнал – средство перенесения информации в пространстве и времени. Но в качестве сигналов используются не сами материальные объекты, а их состояния.

Условия, обеспечивающие установления и сохранение сигнального соответствия состояний объектов называется кодом.

Посторонние воздействия, нарушающие это состояние, называются шумами.

Рассмотрим возможности опытов, начав с модели «черного ящика». Здесь выбор входов и выходов есть уже построенные модели, которая и будет определять организацию опыта. Здесь возможны два вида опытов:

Пассивный эксперимент (наблюдение), если мы только регистрируем события на выбранных входах и выходах;

Активный (управляемый) эксперимент – если мы не только созерцаем и фиксируем происходящее на входах и выходах, но и воздействуем на некоторые из них (одни намеренно поддерживая неизменными, другие изменяя нужным образом).

Результаты опыта фиксируются с помощью измерений, т.е. отображение результатов в виде символов, номеров или чисел. Важно отметить, что современное понятие измерения существенно шире только количественного измерения.

Современное понятие измерения включает следующие положения:

а) существуют явления, в принципе не допускающие числовой меры («количество материнской любви» и т.п.), по которым можно фиксировать в «слабых», «качественных» шкалах и эти результаты учитывать в моделях;

б) некоторые наблюдения обладают свойством «расплывчатости», однако этому свойству придана строгая математическая форма и разработан формальный аппарат работы с такими наблюдениями;

в) хотя очевидно, что чем точнее измерения, тем лучше, признается, что погрешности измерений являются не только чем-то побочным, чуждым для измерения (сторонние помехи, небрежность, ошибки оператора), но и неотъемлемым, естественным и неизбежным свойством самого процесса измерения (собственные шумы аппаратуры, соотношения неопределенности, «шумы квантования»); таким образом проверяемые на практике модели должны быть не только гипотезами об исследуемом объекте, но и гипотезами об ошибках измерения;

г) важное место занимают статистические измерения, т.е. оценивание функционалов распределения вероятностей по реализации случайного процесса; для таких измерений требуется специфическая методика и техника.

2. Измерительные шкалы

Измерение – это алгоритмическая операция, которая ставит в соответствие данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления определенное обозначение: число, номер или символ.

Благодаря такому соответствию результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте, а количество информации зависит от степени полноты этого соответствия и разнообразия вариантов.

Нужная нам информация получается из результатов измерения с помощью их преобразований обработки экспериментальных данных.

Измерительные шкалы могут быть самыми различными. Вначале рассмотрим только такие объекты, про любые два состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и только такие алгоритмы измерения, которые различным состояниям ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям – одинаковые обозначения. То есть состояния объекта и их обозначения удовлетворяют аксиомам тождества:

1) либо А=В, либо А ¹ В

2) если А ¹ В, то В = А

3) если А = В и В = С, то А = С.

(символ = обозначает отношение эквивалентности; в случае, когда А и В – числа, он означает равенство).

1.1. Шкалы наименований

Предположим, что число различимых состояний конечно. (Различимые состояния называются классами эквивалентности). Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие обозначение, отличное от обозначений других классов (состояний). Теперь измерение будет состоять в том, чтобы проведя эксперимент над объектом, определить принадлежность результата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с помощью символа, обозначающего данный класс. Также измерение называется измерением в шкале наименований (номинальной, классификационной).

Шкала наименований используется когда классифицируются дискретные явления (например, различные объекты). Для обозначения классов используются:

- слова, например, географические названия, имена людей;

- произвольные символы (черты и флаги, эмблемы родов войскЮ значки и т.п.);

- номера (регистрационные номера автомобилей, документов, номера на майках спортсменов);

- различные комбинации вышеназванных средств (почтовые адреса, печати и т.п.).

Необходимость классификации возникает и тогда, когда классифицируемые состояния образуют непрерывное множество. Тогда оно разбивается на подмножества и искусственно образуются классы эквивалентности. Однако условность введенных классов рано или поздно проявится на практике.

Важно! Обозначения классов – это всего лишь символы, даже если для этого использованы номера. Номера лишь внешне выглядят как числа, но на деле числами не являются (пример, номера спортсменов). Единственная операция, которая может быть проведена при обработке экспериментальных данных, зафиксированных в номинальной шкале – это проверка их совпадения или несовпадения.

Математически: d_ij = {1:x_i = x_j; 0:x_i ¹x_j}.

С результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования:

- считать количества совпадений

(n – общее число совпадений, n_k – число совпадений k-го класса);

- вычислять относительные частоты классов

- частота k-го класса и т.п

2.2. Порядковые шкалы

В случаях, когда наблюдаемый (измеряемый) признак состояния имеет природу, не только позволяющую отождествить состояние с одним из классов эквивалентности, но и дающую возможность в какой-то степени сравнивать разные классы, для измерения можно выбрать более сильную шкалу, чем номинальная. Однако это усиление измерительной шкалы зависит от того, какие именно отношения между классами существуют в действительности, поэтому существуют и измерительные шкалы разной силы.

Порядковая (или ранговая) шкала является следующей по силе за номинальной. Эта шкала применима, если кроме аксиом тождества (1) – (3) классы эквивалентности удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности:

4) Если А > В, то В < А

5) Если А > В и В > С, то А > С.

Обозначив такие классы символами, и установив между этими символами те же отношения порядка, мы получим шкалу простого порядка (нумерация очередности, призовые места в конкурсе, воинские и ученые звания и т.п.).

Иногда бывает, что некоторые пары не упорядочиваются по предпочтению и считаются равными, тогда имеем аксиомы:

4¢) либо А £ В, либо А ³ В (если А ³ В, то В £ А)

5¢ ) Если А ³ В и В ³ С, то А ³ С.

Шкала, соответствующая аксиомам 4’, 5’ – это так называемая шкала «слабого порядка». Пример: степень родства (мать=отец > сын=дочь, дядя=тетя > брат=сестра и т.п.)

Бывают ситуации, когда некоторые пары классов несравнимы между собой, т.е. ни А £ В, ни В £ А. Для таких случаев используется шкала частичного порядка (в социологических исследованиях субъективных предпочтений – покупательский спрос, любимые занятия и т.п.) (В лабораторной работе №1 – показатели выбора городов).

Характерная особенность порядковых шкал – это то, что отношения порядка ничего не говорят о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые данные также нельзя рассматривать как числа, как и номинальные, даже если они изображены цифрами. Над ними, следовательно, нельзя выполнять действия, приводящие к получению разных результатов при преобразовании шкалы, не нарушающем порядка (Х : 1 2 3 4 5) Þ (Х¹ : 1 4 6 8 10).

Например, нельзя вычислять выборочное среднее порядковых измерений,так как переход к монотонно преоразованной шкале x’ =f(x) при усреднении даст т.е. т.к. .

Однако, допустима операция, позволяющая установить, какое из 2-х наблюдаемых Х_i или Х_j предпочтительнее и определить ранг объекта. Поэтому порядковая шкала называется еще и ранговой. Пусть С(t) – индикатор положительных чисел, где t = X_i - X_j

0 : t < 0;

C(t) = 1 : t ³ 0;

Тогда

- ранг i-го объекта.

1 < R_i £ n.

Важно! Даже в тех случаях, когда состояния, допускающие только порядковые сравнения, в эксперименте измеряются через величины, связанные с ними косвенно, но фиксируемые в числовых шкалах, эти измерения все равно остаются измерениями в порядковой шкале.

Например, при испытании умственных способностей измеряется время, затрачиваемое испытуемым на решение тестовой задачи. Но, хотя время измеряется в числовой шкале, здесь, как мера интеллекта оно его измерение принадлежит к порядковой шкале.

2.3. Модифицированные порядковые шкалы

Модифицированные порядковые шкалы создаются для усиления порядковых шкал (иногда такое усиление лишь кажущееся). Это порядковые шкаолы, но не в строгом смысле этого слова. Другая причина введения модифицированных порядковых шкал эаключена в том, что многие из измеряемых в порядковых шкалах величин имеют непрерывный характер, таким образом тут есть попытка ввести между двумя шкальными значениями третье. О том, что это все-таки не числа, а порядковые данные, часто забывают и это может привести к ошибкам.

Примеры.

Шкала твердости по Моосу (основана на том, что из двух минералов тверже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины) ® отношене А тверже В.

Эталоны: 1 – тальк 4 – флюорит, 7 – кварц 10 – алмаз

2 – гипс 5 – апатит 8 – топаз

3 – кальций 6 – ортоклаз 9 – корунд

- искусственно слабый порядок.

Шкала Бофорта (1806 г.) 0 – штиль, 4 – безветрие, 6 – сильный ветер, 10 – шторм, 12 – ураган. Градации имеют условный характер.

Шкала магнитуд Рихтера (1935) М = lgА ® метод оценки балльности (интенсивности) на поверхности по магнитуде, расстоянию до эпицентра и глубине очага.

Балльные шкалы оценки знаний: - здесь ошибки и напоминание проявляются наиболее сильно (учет среднеарифметического балла – величины, не имеющей смысла в порядковой шкале, директивные определения того, каким требованиям должен удовлетворять ответ, чтобы за него был выставлен тот или иной балл).

Порядковая шкала Черчмена и Акоффа, которая часто используется в социологических и других подобных исследованиях.

Пусть имеется 4 предмета: А, В, С, D.

1) опрашиваемый упорядочивает их:

А ³ В ³ С ³ D

2) приписывание предметам любых чисел между 0 и 1 ® выражает грубо «силу предпочтения», например

3) уточнение А – в сравнении с В, С и D вместе взятых.

Если А >ВÇСÇД, то

, далее упорядочиваем В и СÇД:

если СÇД > В, то уменьшают вес В, чтобы В < С+Д:

(Общая рекомендация: для уменьшения количества перебираемых комбинаций при уточнении шкалы наиболее предпочтительной альтернативе приписывается единичный вес, а остальные – группируются по 3).

Основной недостаток – в психологии предположение об аддитивности весов предпочтения не всегда выполняется.

2.4. Шкалы интервалов

Если можно выполнить упорядочивание объектов так, что будет известно расстояние между ними, можно воспользоваться более сильной шкалой – шкалой интервалов. То есть естественно выражать эти расстояния в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Таким образом, объективно равные интервалы измеряются одинаковыми по длине отрезками шкалы, где бы они не расположились.

(Пусть по одной шкале 2 интервалов: D₁х и D₂х, а по другой D₁y и D₂y, все равно D₁х/D₂х = D₁у/D₂у).

Введенные шкалы могут иметь произвольные начала отсчета и единицы длины, а связь между показателями является линейной: у = ах+b, где ¥ < b < ¥ (температура, время, высота местности). Название «шкала интервалов» подчеркивает, что в этой шкале только интервалы имеют смысл настоящих чисел и только над интервалами следует выполнять математические операции (шкала Цельсия температура увеличивается с 9° до 18°, а по Фаренгейту в той же шкале с 37° до 42°.

2.5. Шкалы отношений

Пусть наблюдаемые величины удовлетворяют не только аксиомам 4° и 5°, но и аксиомам аддитивности.

6°. Если А = Р и В> 0, то А + В > Р.

7°. А + В = В + А

8°. Если А = Р и В = Q, то А + В = Р + Q

9°. (А+В) + С = А + (В + С).

Это существенное «усиление» шкалы, и изменения в такой шкале являются «полноправными» числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия. Для этих шкал справедливо х₁/х₂ = у₁/у₂. Этому требованию удовлетворяет соотношение вида у = ах (а ¹ 0). Величина, измеряемая в шкале отношений пл. естественный, абсолютный нуль.

Примеры: длина, вес, деньги, электрическое сопротивление (при последнем соединении).

2.5. Шкалы разностей

Шкала разностей – то же, что циклическая, или периодическая. Это шкала, инвариантная к сдвигу: у = х + b. В такой шкале значение не изменяется при любом числе сдвигов:

у = х + nb, n = 0, 1, 2… Постоянная b является характерным параметром шкалы и называется ее периодом. В таких шкалах изменяется направление из одной точки (шкала компаса, роза ветров и т.д.), время суток (циферблат часов), фаза колебаний (в градусах или радианах).

Циклические шкалы являются частным случаем интервальных шкал. Однако соглашение о хотя и произвольном, но едином для нас начале отсчета шкалы позволяет использовать показания в этой шкале как числа и применять к ним арифметические действия (не забывая об условности нуля, например, при переходе на летнее время и обратно).

2.6. Абсолютная шкала

Если все предыдущие шкалы единственны с точностью до какого-либо преобразования (линейного у = ах+b, растяжение у = ах, сдвига у = х+n×b), абсолютная шкала просто единственна, уникальна. Она имеет и абсолютный нуль и абсолютную единицу. Это – числовая ось. Над показаниями абсолютной шкалы можно производить любые действия, употреблять эти показания в качестве показателя степени и аргумента логарифма.

2.7. Замечания по применимости шкал при измерении изучаемых объектов

Поскольку чем сильнее шкала, в которой производятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте, явлении, процессе дают измерения. Поэтому естественно стремление проводить исследования в более сильной шкале. Но при этом надо иметь в виду, что выбор шкалы должен ориентироваться на объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина, и лучше всего проводить измерения в той шкале, которая максимально согласована с этими отношениями. (Если измерять в шкале более слабой, чем согласованная, это приводит к потере части информации, если же применяется более сильная шкала, чем согласованная, полученные данные все равно не будут иметь той силы, на которую ориентируется их обработка.

Аналогичная ситуация может возникнуть после проведения измерений. По некоторым причинам исследователь может перевести их из одной шкалы в другую. Если в более слабую – надо помнить, что произойдет некоторое ухудшение качества выводоы. Если в более сильную (типичный случай – «оцифровка» качественных шкал: классам в номинальной или порядковой шкале присваиваются номера, с которыми дальше работают как с числами. Здесь важно не выходить за пределы допустимых преобразований (тогда оцифровка – это просто перекодировка в более удобную, например, для ЭВМ, форму).

Некоторые преобразования могут ненамеренно изменить уровень шкалы, например, в акустике и радиотехнике отношения мощностей сигналов Р₁ и Р₂ измеряются в дБ: N = 10 lg (P₂/P₁). Здесь сами Р₁ и Р₂ измеряются в шкале отношений, а величина N принадлежит шкале интервалов.

Контрольные вопросы

1. Что такое измерение?

2. Объясните выражения «сильная шкала», «слабая шкала».

3. Что такое шкала наименований (порядковая, отношений и т.п.)?

Информация в лекции "Лекция 4.2" поможет Вам.

4. Каковы возможные последствия «усиления» и «ослабления» наблюдений, т.е. пересчета протокола наблюдений в шкалу, отличную от той, в которой проводилось наблюдение?

5. Каким условиям должны удовлетворять измеряемые величины, чтобы их можно было измерять в шкалах отношений?

6. Какие величины можно измерять в шкалах отношений из приведенного списка: масса, температура, энергия, высота мощности, деньги, длина, время?

7. Какая шкала называется абсолютной, почему?

Литература

1. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М. : Высшая школа, 1989.

Поделитесь ссылкой:

Популярные услуги

Лекция 5

Рекомендуемые материалы

Рекомендуемые лекции