ТЕМА 5. Функциональные сети

Тема 5.  Лекция 6.  Функциональные сети

1. Понятие о детерминистских и стохастических сетях
2. Характеристики символов, используемых в диаграммах
3. Моделирование процесса  с помощью сети GERT

1. Понятие о детерминистских и стохастических сетях

В последнее время для исследования происшествий в техносфере предлагается использовать диаграммы влияния, относящиеся к классу семантических функциональных сетей.

Семантические функциональные сети также являются графами, но отличаются дополнительной информацией, содержащейся в их узлах и дугах (ребрах).

 Функциональные  сети могут быть как стохастическими, так и детерминистскими. 

Детерминистские сети, предусматривают необходимость реализации всех условий (дуг) для достижения конкретного события (узла). Пример детерминистской сети – сеть PERT.

Стохастические сети могут ограничиваться выполнением лишь части условий и событий, заданных предшествующими элементами. При этом выбор их проводится случайным образом, как правило, в со­ответствии с присвоенными элементам вероятностями или вероятностными распределениями.

Рекомендуемые материалы

Из них наиболее пригодны для исследования условий возникновения и предупреждения происшествий так называемые сети стохастической структуры типа Петри и GERT (Graphic Evaluation and Review Technique).

Достоинствами таких сетей являются:

а) возможность объединения логических и графических способов представления исследуемых событий;

б) учет стохастичности информации, выраженной узла ми и лугами;

в) доступность для моделирования параллельно протекающих, циклических и многократно наблюдаемых процессов;

г) наибольшие (по сравнению с другими типами диаграмм) логические возможности — в смысле строгости, компактности и простоты корректировки условий наблюдения моделируемых событий и явлений.

Отличительной особенностью функциональных сетей типа Петри и GERT служит не детерминистская (как PERT], а так называемая стохастическая структура. Это означает, что для завершения моделируемого ими процесса или появления интересующего исследователя события необходимо реализовать не все входящие дуги (предецессоры) и исходящие (саксессоры), а только ту их совокупность, которая минимально необходима и достаточна для этого. В тех случаях, когда соответствующий ресурс является переменной величиной, реализация конкретных дуг сети сопровождается выбором ее значения в соответствии с заданным им вероятностным распределением.

Стохастические сети, как и взвешенные и функциональные орграфы чувствительны  к: динамике моделируемых процессов. Кроме того, они допускают возможность учета ряда дополнительных условий и ограничений, в том числе - связанных с цикличностью и наличием обратных связей. Все эти особенности сетевых, моделей позволяют отражать взаимодей­ствие управляющих и управляемых элементов, декомпозировать слож­ные процессы до совокупностей простых, использовать их для опреде­ления количественных характеристик рассматриваемого процесса, уточнять состав необходимых для этого исходных данных и получать новую информацию о способах совершенствования безопасности, рас­сматривая ее как функциональное свойство человекомашинных систем.

Отдельные элементы таких се­тей могут не иметь физического смысла, а использоваться для указания логической последовательности реализации моделируемого процесса, т.е. соблюдения определенных отношений предшествования и завер­шения его этапов. Как следствие, стохастические сети часто содержат вспомогательные узлы и дуги.

Примером таких сетей могут служить сети GERT.

Функциональные сети GERT обладают стохастической структурой, что достигается присвоением узлам логических функций, а связям между ними – вероятности их реализации,  активности или соблюдения другого условия (эти признаки характерны и для известного вам дерева отказов, но, как мы увидим дальше GERT – сети имеют специфические отличия).

Сети GERT  имеют в общем случае четыре типа узлов (источник, сток, метка и статистика), каждая пара которых является ориентированной ветвью с определенным числом степеней свободы, что, собственно, и отличает их от графов и деревьев.

Как и в других диаграммах влияние, узлы изображаются специальными фигурами (см. табл.1).

 2. Характеристики символов, используемых в диаграммах

Табл.                                                                         

Число степеней свободы узла сети указывает на количество непосредственно ему предшествующих (инцидентных) условий, необходимых для его реализации.

Например, если число степеней свободы равно 2, а узлу предшествуют четыре условия, то для появления события (достижения узла) требуется соблюдение любых двух из них; при четырех степенях свободы необходимо выполнение всех четырех условий (число степеней свободы узла сети GERT может и превышать количество инцидентных ему связей; в этом случае предполагается многократность реализации отдельных условий: например, для четырехстепенного узла и одной связи потребуется ее четырехкратная реализация.

На рис. 2  показан пример простейшей сети GERT.

В этой сети шесть узлов и связей между ними.

Узел № 1 – исток (не имеет входных дуг).

Узлы № 2 и № 5 – детерминистские по входу и стохастические по выходу. Они имеют соответственно 2 и 1 инцидентные связи со степенями свободы, равными 1 для начальной (цифры «1» в левом верхнем секторе узлов) и последующих реализациях процесса.

Узлы №4 и № 6 – стоки (нет выходных дуг).

3. Моделирование процесса  с помощью сети GERT

Моделируемый процесс протекает следующим образом.

Вначале реализуется связь 12, после чего осуществляется воздействие по одной из выходных дуг: 23 или 22 узла №2. После двух реализаций связи 23 открывается узел №3 и процесс может пойти по одному из трех возможных направлений.

Если реализуется условие 34, то он будет завершен, а, если 35, то реализуется событие 5 и, затем, после осуществления воздействия 56 – событие 6.

Если реализуется выход 32, процесс возобновится с момента осуществления связей 23 и 22, однако его предыстория будет зафиксирована узлами – метками №2, №3 и №5 и узлами-стоками №4 и №6.

Для определения вероятности наступления конкретного события сети - Q, математического ожидания - M[Т] и дисперсии времени до его появления – D[T]), обычно проводят упрощение исходной модели, путем объединения последовательных, параллельных и замкнутых контуров единственную ветвь с эквивалентными исходными параметрами P_ij, M_ij (S) и их преобразованием W_ij(S). Значение функции W_ij(S), иногда называемой коэффициентом пропускания или операто­ром динамической системы [22], рассчитывается с соблюдением сле­дующих правил[105]:                            

а) для последовательно соединенных узлов i, j, k:

W_ik^*(k)=W_ij(S)×W_jk(S)                          (1)

б) для параллельных ветвей между узлами 1-2 и 3-4, условно объеди­ненных в один главный исток под номером i = (1 Ç 3) и один главный сток k = (2 Ç 4).

W_ik^*(k)=W₁₂(S)×W₃₄(S)                     (2)

в) для сочетания одной дуги i-k с собственной (вырожденной, первого порядка) петлей i-I

                                          (3)

г) для петли т-го порядка - множества из т не связанных между собой замкнутых ветвей первого порядка

                                      (4)

Заметим, что правила преобразования сетей, помеченные бук­вами (а...г), справедливы лишь для так называемых замкнутых стоха­стических связей, т.е. таких, для которых существует обратная связь между главным или каким-то другим стоком и главным истоком. В тех же случаях, когда рассматриваются разомкнутые функциональные сети стохастической структуры, такие, например, как приведенная выше, для использования этих правил необходимо проводить их искусственное замыкание дугой с подобранным специальным обра­зом коэффициентом пропускания W_A(S).

Процедура такой модификации исходной сети и определения значения ее функции W_E(s) основана на использовании топологиче­ского уравнения С.Мэсона[105, 109], имеющего следующий вид:

                      (5)

где - сумма коэффициентов пропускания i-ых петель сети.

Последовательность определения функции W_E(S) для разомкну­той (оригинальной) стохастической сети по формуле (5), с учетом вышеизложенного включает такие основные шаги:

1. Замыкание главного или другого стока конкретной сети - одного из возможных исходов рассматриваемого процесса с главным ее истоком (начальным событием) и присвоение этой обратной связи коэффициен­та пропускания W_A(S).

2. Определение значения искомого коэффициента пропускания разо­мкнутой стохастической сети - W_E(S) с помощью аналогичного пара­метра ранее введенной обратной связи - W_A(S) и формул (4), (5).

3. Выявление всех возможных (включая и введенную искусственно связь) петель и вычисление их эквивалентных коэффициентов пропус­кания – W^*(L_i).

4. Подстановка значений W^*(L_i) и W_E(S) =f[W_A(S)] в топологиче­ское уравнение (5), уточнение знаков слагаемых и разрешение его относительно искомой нами функции W_E(S).

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 5. Профессиональные системы и технологии.

Проиллюстрируем рассмотренный порядок анализа сто­хастических сетей для случая определения таких характеристик, как математиче­ское ожидание и дисперсия величины, например, времени, необходимого для реа­лизации конкретного исхода, а также вероятность его возникновения. В качестве модели рассмотрим уже знакомую сеть типа GERT (см. рис. 2), а затем исследуем процесс возникновения конкретного транспортного происшествия - железнодо­рожного крушения.

Очевидно, что рассматриваемые процессы могут интерпретироваться в виде прохождения сигнала по узлам и дугам соответствующей сети. имеющей в своем составе последовательные, параллельные, а иногда и замкнутые сочетания ориентированных ветвей. Следовательно, вероятность появления интересующих нас исходов, а также математическое ожидание величины времени до их возник­новения - М[Т] и его дисперсия D[T] будут зависеть от структуры сети и про­пускных способностей ее элементов, характеризуемых параметрами t_ij и P_ij или однозначно связанной с ними функцией.