Лекция 6

Тема 3. Лекция 6. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ.

                                РАСПЛЫВЧАТАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ

1.1. Понятие о расплывчатости

1.2. Основные положения теории расплывчатых множеств.

     1.3.Функция принадлежности.

     1.4. Нечеткие числа и их использование при моделировании систем

При проведении измерений, которые, как мы уже знаем, здесь понимаются в широком смысле, т.е. как получение любой информации, часто возникает проблема неопределенности результатов измерений.

Неопределенность бывает разного происхождения. Можно выделить три ее вида:

1. Неизвестность  - рассматривается теорией познания и философией. Неопределенность такого типа характеризует, например, ситуацию, когда мы задаемся вопросом «Есть ли жизни на Марсе?». Исследования последних десятилетий, посадка советской автоматической станции на Марс значительно уменьшили эту неопределенность, но не сняла ее совсем. Другой пример – вопрос о начальном этапе возникновения жизни. Здесь неопределенность до конца также не снята.

Рекомендуемые материалы

2. Расплывчатость – этот вид неопределенности характеризуется тем, что ни один эксперимент не может снять ее полностью.

3. Случайность  - вид неопределенности, подчиняющийся строгой закономерности, выраженной распределением вероятностей.

1. Расплывчатая неопределенность

Понятие расплывчатости. Часто при измерениях встречаются случаи, когда тождество или различие двух состояний нельзя утверждать с полной уверенностью, т.е. аксиомы тождества не выполняются. Это особенно наглядно проявляется для шкал, в которых классы эквивалентности обозначаются конструкциями естественного языка. Например: «В комнату вошел высокий молодой человек с тяжелым свертком в руках.»  Здесь измерение состоялось, класс эквивалентности, к которому принадлежит человек, в сущности, назван. Но непонятно, все же, какого он роста, сколько ему лет – для разных людей понятия «молодой» и «высокий» могут иметь разное содержание. «Тяжелый сверток» – опять-таки непонятно, сколько, хотя бы примерно он весит…. «Старый человек» – это с какого возраста? «Лысый» – сколько на голове должно остаться волос, чтобы можно было «наградить» человека этим определением?

Эта неопределенность смысла языковых конструкций – камень преткновения автоматического (и не только автоматического) перевода с одного языка на другой. Из-за расплывчатости и неоднозначности слов одному и тому же предложению можно дать несколько разных смысловых интерпретаций.

Примеры:

С этим же свойством связана и одна из трудностей перевода поэзии.

Таким образом, было введено понятие лингвистической переменной как переменной, значение которой расплывчато по своей природе, как метки некоторого размытого, расплывчатого множества (синонимы: размытое, нечеткое множество). (Теория расплывчатых, или нечетких множеств, построенная Л. Задэ).

Древние логики спорили о том, сколько песчинок нужно сложить вместе, чтобы получилась куча песка. Теперь же мы можем сказать, что слово «куча» есть всего лишь метка расплывчатого множества.

Расплывчатость присуща не только естественному языку. Например, в математике применяются понятия “значительно больше” (>>) и “приблизительно равно” ( » ), являющиеся типично расплывчатыми.

1.2 Некоторые понятия теории расплывчатых множеств

Расплывчатое множество А состоит из неопределенного числа элементов х: признаки, по которым элементы включаются в расплывчатое множество, не позволяют однозначно отделить все элементы, входящие в него, от элементов, ему не принадлежащих; по крайней мере некоторые элементы можно считать как относящимися к этому множеству, так и не входящими в него.

Функция принадлежности. Считается, что для каждого элемента х можно задать число m_А(х),    0 £ m_А(х) £ 1, выражающее степень принадлежности этого элемента к расплывчатому множеству А. Если m_А(х) = 0, то элемент х определенно не принадлежит к множеству А, если m_А(х) = 1, то элемент х определенно входит в него. Если m_А(х) принимает значения только равные 0 или только равные 1, то множество А является нерасплывчатым.  Характерным признаком расплывчатости множества является наличие хотя бы одного элемента с функцией принадлежности, отличной от 0 и 1. Так, например, множество R⁺ положительных чисел становится размытым, если положить m_R+(0) = ½, так как можно считать нуль «отчасти положительным», «отчасти отрицательным» числом.

Таким образом, расплывчатое множество А в Х определяется как совокупность упорядоченных пар вида

                                   А = {х, m_А(х)},            х  Î Х

Расплывчатое множество А’ называется дополнением к расплывчатому множеству А тогда и только тогда, когда m_А’(х) = 1 - m_А(х).

Объединением расплывчатых множеств А и В называется расплывчатое множество А ÈВ , удовлетворяющее условию

                            А ÈВ Ûm _{А ÈВ} (х) =  max [m_А(х), m_B(х)] ,   х  Î Х

Над расплывчатыми множествами можно производить действия, соответствующие алгебраическим операциям над функциями принадлежности составляющих множеств.

Алгебраическое произведение расплывчатых множеств А и В, обозначаемое АВ:

                                    m_АВ(х) = m_А(х)×m_В(х),       х  Î Х

Алгебраическая сумма А+В  соответствует равенству

                  m_А+В(х) = m_А(х)  + m_В(х) - m_А(х)×m_В(х),       х  Î Х

Таким образом, можно сделать следующий краткий вывод:

Расплывчатость – это такое свойство явлений, при котором не выполняется отношение эквивалентности; явление может одновременно принадлежать данному классу и не принадлежать ему. Такого типа неопределенность записывается с помощью функции принадлежности; значение этой функции выражает степень уверенности, с которой мы относим объект к указанному классу. Сам же класс в итоге становится не определяемым однозначно и называется расплывчатым, или нечетким множеством.

 1.4. Нечеткие числа и их использование

         при моделировании систем

Известно, что в процессе прогнозирования безопасности разрабатываемых производственных процессов, как правило, ощущается дефицит данных о надежности оборудования, вероятностях ошибок персонала, частоте неблагоприятных воздействий окружающей среды. Это обусловлено как отсутствием соответствующих статистических данных, так и значительной дисперсией имеющихся данных (недостаточной достоверностью). Таким образом, возникает необходимость представления таких данных не точно известными, а приближенными величинами, заданными на некоторых интервалах возможных значений.   Здесь теория нечетких множеств может быть весьма полезной, поскольку позволяет заменить точечные оценки вероятностей их интервальными оценками, выраженными в форме нечетких чисел.

Под нечеткой (расплывчатой) величиной N подразумевается подмножество, определяемое на множестве действительных чисел и характеризуемое заданным соответствием между конкретными их значениями и значениями их функции принадлежности (степенями принадлежности) m из интервала [0,1].

Функция принадлежности значений такой величины рассматривается как распределение возможностей появления определенных действительных чисел.

Модальными значениями нечеткой величины – m_N являются те элементы множества, которые обладают единичной степенью принадлежности – наибольшей возможностью наблюдения в рассматриваемых условиях: m_N(m)=1.

Теперь можно конкретизировать определение нечеткого числа следующим образом.

Нечеткое число – есть полунепрерывный сверху, компактный нечеткий интервал с выпуклой функцией принадлежности и единственным модальным значением.

Это понятие обычно выражается словами «приблизительно, примерно, около, порядка m ».

По определению функция принадлежности может иметь несколько форм, отличающихся различным размахом, т.е. шириной диапазона возможных значений действительных чисел. При неограниченном уменьшении размаха, нечеткое число превращается в четкую, фиксированную величину.

Здесь стоит обратить внимание на сходство между возможностной и вероятностной интерпретациями переменных. Оно проявляется, прежде всего в том, что размах нечеткого числа аналогичен области тех значений случайной величины, на которых совокупная вероятность ее появления равна единице. Однако максимальное значение функции m(m)=1 относится не ко всему нечеткому интервалу, а только к модальному значению действительного числа (по определению).

Выше было сказано, что над расплывчатыми множествами можно производить действия, соответствующие алгебраическим операциям над функциями принадлежности составляющих множеств. Таким образом, и с  нечеткими числами можно производить известные алгебраические операции, в том числе используемые в дереве отказов логические сложение и умножение, изменение знака (отрицание). Наиболее просто это делается при предварительной аппроксимации нечетких чисел в так называемой L-R форме («Left-Right»).

По определению функция принадлежности может иметь несколько форм, отличающихся различным размахом a и b, т.е. шириной диапазона возможных значений действительных чисел. Обычно принимают a = b = 0,0556m.

Эта величина получается при допущении, что функции принадлежности нечетких чисел аппроксимируются следующей L-R-формой:

                                                               (1)

где a_i = b_I – симметричные относительно модального значения m_i коэффициенты размаха i-х нечетких чисел.

Предполагается также, что величины размаха ее левой L и правой R ветвей изменяются от m_Pi(x_i= m_i)=1 для точки их пересечения  x_i= m_i (по определению нечеткого числа) до m_Pi(x_i= m_i± 0,5m_i)£ 0,1 при отклонениях переменной на половину величины m_i , т.е. соблюдается следующее условие: 

m_Pi(x_i= 0,5m_i) = m_Pi(x_i= m_i± 0,5m_i)£ 0,1  .                                                    (2)

Это можно интерпретировать следующим образом: возможность того, что частота появления исследуемых событий отклоняется от заданных средних значений на 50% равна 0,1. Подставив это значение в 2.1, получим

                                   (3)

Отсюда следует, что a = b = 0,0556m.

При неограниченном уменьшении размаха, нечеткое число превращается в четкую, фиксированную величину.

Правила операций над нечеткими числами A = (m_A ,a, b ) и B=(m_B , g, d) приведены в табл. 2.1.

Табл. 2.1

Здесь  Å,,Ä - операции сложения, вычитания и перемножения нечетких чисел в L-R-форме

Прогноз меры возможности появления головного события P_Y, образуемого логическим сложением или перемножением n предпосылок, проводится после предварительной аппроксимации их параметров нечеткими числами (m, a b) в форме L-R-диаграммы (рис.2.1).   

Обозначим через P_Y нечеткое число, выражающее меру возможности появления результирующего события, обусловленного событиями P_i.

При связи событий P_i логическим «и» имеем:

  (4)

причем

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Современные СМИ Китая.

,  ,     .                                       (5)                                                    

При связи событий P_i логическим «или» имеем:

,                                                             (6)

причем

,  ,  .                                           (7)

Как приближенные, так и точные количественные параметры исходных предпосылок определяются на основе статистических данных по интенсивности отказов техники, частоте ошибок персонала и вероятности нерасчетных внешних воздействий.