ТЕМА 4. Моделирование процессов

ТЕМА  4  Лекции 4-5.  Моделирование процессов с помощью графических

 моделей

1. Диаграммы влияния. Их модификации

· 1.1. Потоковые графы

· 2. Моделирование с помощью орграфов

·   2.1. Ориентированные графы

·   2.2. Взвешенные графы

·   2.3. Импульсные процессы в графах

· 2.4.  Устойчивость и равновесие орграфа

Рекомендуемые материалы

· 2.5. Функциональные, гибридные и динамические орграфы

· 2.6. Орграфы с временными задержками

· 2.7. Управленческие решения при моделировании на орграфах

·  

· Одной из разновидностей графов, используемых для анализа больших систем, являются, так называемые диаграммы влияния. По сути дела – это модели, представляющие собой процесс появления отдельных предпосылок и развития их в причинную цепь происшествия в виде соответствующих диаграмм причинно-следственных связей. Диаграммы влияния дают нам формальное представление моделируемых категорий (объектов, процессов, целей, свойств) в виде множества графических символов (узлов, вершин)  и отношений – предполагаемых или реальных связей между ними. Диаграммы влияния используются в настоящее время в различных модификациях, например:

· потоковые графы (графы состояний и переходов);

· ориентированные графы

· деревья происшествий («отказов»);

· деревья событий, деревья решений;

· функциональные сети различного предназначения и структуры, в т.ч. стохастической.

· Основными компонентами диаграммы влияния служат узлы (вершины) и связи (отношения). В качестве узлов обычно подразумеваются простейшие элементы моделируемых категорий (события, состояния, свойства), а в качестве связей – действия, ресурсы и т.п.

· Каждые два соединенных между собой узла образуют ветвь диаграммы. Отношения или связи между переменными или константами в узлах диаграммы представляются в виде дуг или ребер.

· Узлы диаграммы характеризуются наборами данных (фреймами данных), т.е. множеством выходов (значений, принимаемых переменными). Если диаграмма стохастическая, то дугам или ребрам приписываются вероятности (или распределения вероятностей) появления этих значений. В некоторых случаях вместо условных распределений допускается использование в диаграммах отдельных значений, принимаемых переменными.

· Диаграммы влияния сравнительно легко комбинируются с другими средствами формализации и моделирования. В последнее время к ним все чаще обращаются для решения задач повышение безопасности с помощью математического моделирования.

· Так, с помощью предварительно построенных диаграмм – графов, сетей, деревьев могут быть получены математические модели аварийности и травматизма, как, например, расчет риска и ущерба с помощью дерева отказов.

·

· 1.1. Потоковые графы (графы состояний)

·

· Возникновение происшествий в человеко-машинных системах и ликвидация их последствий могут быть представлены в виде следующего потокового графа

·

·

·

· Здесь рассматриваемый процесс характеризуется шестью состояниями (безопасное, опасное, предаварийное, послеаварийное, состояние системы после смертельного несчастного случая и ее состояние после катастрофы), а также девятью переходами с соответствующими вероятностями. Для описания такого графа введения следующая формальная запись:

· U = {1. 2. 3. 4. 5. 6} - множество узлов или вершин диаграммы;

· V = {вышеприведенные наименования соотношений} - множество переменных, или соответствующих;

· Д = {1-2, 2-1, 2-3, 3-2, 3-1, 3-4, 3-5, 3-6, 4-1} - множество дуг (ребер), соединяющих узлы;

· Р = { Р₁₂, Р_21, Р_23, Р_32, Р_31, Р_34, Р_35, Р_36, Р_4-1} - вектор мер возможностей перехода из узла I в узел j.

2. Моделирование с помощью орграфов

Ориентированные графы, или орграфы также могут служить моделями взаимодействия различных компонентов, составляющих сложную систему. Орграфы могут  отображать механизм такого взаимодействия и, кроме того, производить оценочные расчеты.

Пример. Сеть питания живых организмов для определенного региона. В качестве вершин орграфа выступают живые организмы, между которыми устанавливаются отношения типа "хищник-жертва". Тем не менее, такая модель еще явно недостаточна для моделирования сложной, многокомпонентной экологической системы региона. И дело здесь даже не в том, что указаны далеко не все компоненты, а в том, что в построенном орграфе нет контуров обратной связи. Любая же сложная система имеет обратные связи.

Обратная связь существует, если две части системы воздействуют друг на друга. В сложных системах, к которым относятся эколого-экономические системы, системы обеспечения и управления безопасностью техносферы, существует огромное количество контуров обратных связей. Эти контуры могут частично пересекаться и образовывать сложные контуры-автоматы. Сложное переплетение связей обуславливает непредсказуемое или плохо предсказуемое поведение системы, траекторию ее развития.

На рис. 2  приведен орграф с обратными связями, который уже позволяет моделировать поведение системы.

Полученная модель показывает воздействие одного показателя (в вершине графа) на другой показатель (вершину). Построенная модель позволяет провести анализ взаимодействия показателей, выявить показатели, связанные контуром (это очень важно при исследовании графов), определить начальные и конечные вершины. Но для моделирования развития систем этого недостаточно. Можно дополнить орграф, присвоив каждой дуге знак + (если при увеличении показателя i показатель j будет увеличиваться) или - (если при увеличении показателя i показатель j будет уменьшаться).  Таким образом, мы получаем знаковый орграф.          

Модели, основанные на знаковых орграфах, являются весьма упрощенными. В реальных системах воздействие некоторых переменных на другие может быть разной силы, тогда как модель, основанная на знаковом орграфе, предполагает одинаковое по силе воздействие по всем дугам, отличающееся только знаком. Чтобы усилить модель, каждой дуге, кроме знака, можно присвоить еще и вес. Тогда  мы получим взвешенный орграф, который является более тонким инструментом моделирования.

2.2. Взвешенные графы

·

· Свойства взвешенного орграфа весьма чувствительны к весам, которые присваиваются дугам. Поэтому значение весов следует устанавливать с возможно большей точностью.

· Определение весов дуг орграфа. может быть проведено так же, как и знаков, на основе логики и экспертных оценок. В случае, когда имеется статистическая информация, весовые коэффициенты могут быть установлены на основе обработки этой информации. Поскольку наблюдаемые изменения показателей происходят одновременно под действием всей совокупности взаимосвязей, то следует провести разделение изменения показателя под действием каждой, отдельно действующей на него, дуги. Иначе говоря, надо обеспечить определение весовых коэффициентов в соответствии с принципом "при прочих равных условиях". Для этого надо решить оптимизационную задачу обработки статистических данных.

Если известно N значений изменений показателей X_j в системе и эти изменения происходят практически мгновенно, то исходя из известной статистической информации, представленной в табл. 1 для фрагмента орграфа (рис. 4), следует решить задачу:

   ,

где  – l-е приращение значения j-го показателя при l-м приращении значения i-го показателя   , воздействующего на исследуемый показатель X_j ;  , N-1;   

Табл. 1. Статистическая информация для расчета весовых коэффициентов

Приведенная оптимизационная задача - минимизация суммы квадрата разности действительного значения показателя и его расчетного значения, получаемого на базе суммы произведений значений влияющих на него показателей и весовых коэффициентов. Данный подход - применение метода наименьших квадратов для расчета весовых коэффициентов орграфа. Его реализация проста: достаточно найти частные производные минимизируемой функции по искомым весовым коэффициентам, приравнять их к нулю и решить полученную систему линейных уравнений. В случае, если т = 1 коэффициент определяется по формуле (для простоты записи индекс j для исследуемого показателя далее опускается):

,                                                       

если же т = 2, то требуется решить линейную систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

a₁∆y_1l² +a₂∆y_1l×∆y_2l =  а₁∆x_l ∆y_1l

 a₁∆y_1l ∆y_2l+a₂∆y_2l² = ∆x_l∆y_2l                                                     

В случаях, когда статистическая информация отсутствует, весовые коэффициенты можно определить на основе экспертных оценок, отдавая себе отчет в том, что точность модели в этом случае существенно ниже.

Для примера рассмотрим орграф модели рыночного механизма установления цен и выпуска продукции (рис. 5). Орграф имеет контуры 1-2-1, 1-3-4-1, 1-2-3-4-1.

Из теории графов известно, что контуры могут как усиливать в конечном итоге отклонения переменных (контуры положительной обратной связи), так и уменьшать их (контуры отрицательной обратной связи). Контур усиливает отклонение тогда, и только тогда, когда он содержит четное число отрицательных дуг. Контур противодействует отклонению тогда и только тогда, когда он содержит нечетное число отрицательных дуг.              

Если большинство контуров составляют контуры, усиливающие отклонение, то начальные изменения могут превышать изменения в результате их непосредственного воздействия. таким образом, наличие многих контуров, усиливающих отклонение, предполагает неустойчивость.

Рис. 5

2.3. Импульсные процессы в орграфах

Для проведения моделирования изменения показателей, включенных в разработанный знаковый или взвешенный орграф следует принять то или иное правило изменения значений показателей в вершинах орграфа.

Моделирование изменения показателей производится по шагам S = 1, 2,... Начальные значения показателей в вершинах орграфа принимаются равными V_i(0), i ÎG. Необходимо определить последовательность значений показателей i: V_i(S), S = 1, 2,... и изучить тенденции изменения каждого из рассматриваемых показателей. В имеющемся знаковом или взвешенном орграфе каждая дуга (i,j) Î G имеет коэффициент а_ij, причем если это знаковый орграф, то этот коэффициент равен +1 или -1, а если это взвешенный орграф, то данный коэффициент принимает определенное числовое значение со своим знаком. Для любого шага моделирования значение показателя в вершине i можно определить по формуле:

,                             (25)

где – импульс, =

На практике возможны различные варианты реализации приведенной выше формулы расчета значений показателей на базе импульсов. Наиболее часто используемые варианты приведены в табл. 4.

На результаты моделирования оказывает существенное влияние вектор начальных импульсов. В зависимости от того, какие показатели будут иметь начальные импульсы во многом зависят и результаты моделирования. Те показатели, которым изначально будут заданы импульсы назовем активизирующими.

Результаты расчетов по формуле импульсного процсесса  (1) табл. 2 приведены в табл. 3 и рис. 6.

                                                                                                         
Рис. 6

Таблица 4. Варианты расчета формул реализации импульсного процесса

2.4.  Устойчивость и равновесие орграфа

Устойчивость импульсных процессов подразделяется на два типа: импульсная и абсолютная.

Взвешенный орграф называется импульсно устойчивым, если для каждой его вершины последовательность ограничена, т.е. найдется такое положительное число P_j (S), что | P_j (S) | £ P_j  для всех S = 0, 1, 2 ….  .

Взвешенный орграф называется абсолютно устойчивым, если для каждой его вершины последовательность ограничена, т.е. найдется такое положительное число V_j (S), что | V_j (S)| £ V_j  для всех S = 0, 1, 2 ….  .

Применительно к равновесию орграфа также можно говорить о двух типах равновесия.

Взвешенный граф находится в состоянии импульсного равновесия, если P_j (S)  = P_j для всех j Î J  и S = S’, S’+1, S’+2, ….

Взвешенный граф находится в состоянии абсолютного равновесия, если V_j (S)  = V_j для всех j Î J  и S = S’, S’+1, S’+2, ….

Примеры импульсных и абсолютных устойчивости и равновесия приведены на рис. 7.

                                                                                             

Рис.7

                                                                                             

а) орграф импульсно и абсолютно неустойчив;

б) орграф импульсно устойчив, но абсолютной устойчивости нет;

в) орграф устойчив как импульсно, так и абсолютно, однако ни импульсное ни абсолютное равновесие на отрезке S …. ¥  не достигнуто;

г)  импульсное ни абсолютное равновесие достигнуто на отрезке S’ …. ¥ 

2.5. Функциональные и гибридные и динамические орграфы

С точки зрения моделирования на базе импульсных процессов, нет большого различия между знаковыми и взвешенными орграфами: формула расчета показателей одна и та же. Разница состоит в точности описания рассматриваемой сложной системы. Модель, базирующуюся на орграфах, можно сделать еще более глубокой по содержанию и точности описания, если построить функциональные орграфы.

В функциональном орграфе дугам ставится в соответствие вместо знака или весового коэффициента функциональная зависимость:

            

Случай единственного показателя. Если на показатель в вершине j воздействует единственный показатель i, то дуге (i,j) можно поставить в соответствие широкий набор функциональных зависимостей f[V_i(S)] (табл. 5).

Возможно дополнить список вариантов зависимостей, введя экспоненциальную и другие распространенные в экономическом моделировании зависимости. Пользуясь приведенными зависимостями, можно построить функциональную зависимость для дуг орграфа. При этом можно непосредственно выразить значение показателя i через величину показателя j, например, с помощью квадратичной зависимости:

                                          

Допускается также видоизменение формулы и использование приростных значений, т.е. величин импульсов:

                         (30)

Табл. 4. Варианты зависимостей для случая единственной дуги, входящей в вершину

В более сложных случаях вместо зависимости f[V_i(S)] применяют зависимость вида f[V_j(S-1),V_i(S)]. Это требует применения более сложных функций. Однако во всех случаях для построения указанных зависимостей требуется статистическая информация. Существует возможность формирования требуемых зависимостей с помощью экспертных оценок.

Если на показатель i воздействует несколько показателей j Î J, то следует воспользоваться иными зависимостями. Наиболее употребительные зависимости – линейная зависимость:   и производственная функция (степенная зависимость): .

·

· Гибридные орграфы. В ряде случае оказывается целесообразным сочетать взвешенный и функциональный орграфы. Обычно это происходит при недостатке информации или при невозможности экспертов отразить зависимость изменения одного показателя от другого. В этих случаях орграфы имеют дуги, части которых поставлены в соответствие функциональные зависимости, а части - весовые коэффициенты. Такие орграфы называют гибридными.

Рассмотренные импульсные процессы позволяют решить широкий круг задач из области экономики и экологии. Однако любые показатели имеют допустимую область изменения, и в процессе решения могут быть получены абсурдные результаты, если не ограничить диапазон изменения всех или части показателей. Например, в экологии при моделировании развития живых организмов, их численность не может быть отрицательной. Кроме того, количество особей одного вида ограничивается не только наличием пищи, но и емкостью данной территории. Способность жертвы скрываться, уменьшение интереса хищника к редко встречающейся жертве позволяет говорить о том, что численность жертвы за счет выедания хищником скорее всего будут падать не до нуля, а до определенного небольшого количества. То же можно сказать и о модели  рыночного механизма, где все показатели, за исключением прибыли, не могут быть отрицательными.

Динамические орграфы. В динамических орграфах значения весов для некоторых (или всех) дуг не остаются постоянными, а зависят от величин показателей в вершинах орграфа, что позволяет повысить гибкость взвешенных орграфов. В этом случае весовой коэффициент дуги ij может быть записан в виде зависимости от некоторого показателя V_k(S):

a_ij = g_ijV_k(S).

2.6. Орграфы с временными задержками

· При исследовании реальных систем важен учет  времени реализации воздействия одного показателя на другой или о времени реакции одного показателя на изменения другого.

Простейший подход, который позволяет учесть временные задержки импульсного процесса - установка дополнительных промежуточных вершин. Например, если показатель j реагирует на изменение показателя i через одну временную единицу, а показатель l реагирует на изменение показателя i через три временных единицы, то орграф с временными задержками примет вид, который показан на рис. 7.

Добавленные вершины l' и l" создают цепочку временных задержек передачи импульса от вершины i к вершине l. Очевидно, что весовые коэффициенты дуг (i, l') и (l', l") должны быть равны +1, а весовой коэффициент дуги (l", l) должен быть равен весовому коэффициенту дуги (i, l) исходного орграфа. Описанный подход возможен в случае целочисленности временных задержек, что имеет место в подавляющем большинстве моделей. Недостатком данного подхода является то, что количество вершин орграфа увеличивается, орграф становится громоздким и трудоемкость расчетов увеличивается. В то же время, все описанные выше способы анализа орграфа в таком варианте можно использовать без изменений.

Второй способ учета временных задержек состоит в том, что каждой дуге орграфа ставятся в соответствие две характеристики: весовой коэффициент (знак, функция) и величина временной задержки. При таком способе учета можно использовать не только целочисленные временные задержки, можно принимать во внимание реализацию "мгновенного" изменения показателей, наряду с изменением показателей с временной задержкой. Под "мгновенным" изменением показателя следует понимать изменение показателя внутри рассматриваемого временного интервала, например, если интервал временной шкалы равен одному году, то все изменения показателей системы, которые изменяются внутри года (реакция показателя равна неделе, месяцу, кварталу) можно назвать "мгновенным". Для них время задержки равно нулю.

Пример такого орграфа приведен на рис.8.

Для решения задач с временными задержками, непосредственно указанными на дугах орграфа, следует использовать усложненный алгоритм, в котором будут учитываться временные задержки. При этом расчеты будут производиться до тех пор, пока не будут реализованы все "мгновенные" изменения показателей. Полученные результаты должны быть зафиксированы для данного момента времени и, исходя из зафиксированных значений, должны быть рассчитаны изменения показателей (сначала те, срок задержки которых истек, а затем те, у которых задержка равна нулю).

2.7. Управленческие решения при моделировании на орграфах

 

Для того, чтобы добиться нужного поведения модели, необходимо определить круг элементов модели, на которые можно воздействовать, а именно:

· изменить на определенное время значения показателей некоторых вершин орграфа;

· изменить на определенное время знак, весовой коэффициент или функцию определенной дуги или ряда дуг;

· изменить временнóе запаздывание на одной или нескольких дугах;

· добавить новую дугу в орграф;

· убрать имеющуюся в орграфе дугу (для этого достаточно приравнять к нулю весовой коэффициент при этой дуге);

В лекции "Типы газовых горелок" также много полезной информации.

· создать или убрать контур;

· добавить в определенное время новую вершину и инцидентные ей (т.е. входящие) дуги;

· убрать в определенное время новую вершину и инцидентные ей дуги.

Следует помнить, что за любыми изменениями в орграфе стоит одно или несколько определенных мероприятий. Одно мероприятие может повлечь за собой комплексное изменение в орграфе, поэтому важно тщательно анализировать все производимые изменения с точки зрения их целесообразности

Литература

1. Чепурных Н.В., Новоселов А.Л.  Экономика и экология. Развитие, катастрофы. – М.: Наука, 1996.