Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста
Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)
Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Запишем характеристическое уравнение САУ при s = iw с целью его рассмотрения в частотной области:
B(iw) = bn (iw)n + bn-1 (iw)n-1+ ...+ bo = A (w) e iY (w) = P(w) + i Q(w) = 0.
При изменении w от 0 до ¥, вектор B(iw) начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова:
Рекомендуем посмотреть лекцию "8. Противопожарные клапаны и люки".
Михайлов доказал что, для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой B(iw) при w = 
повернулся, нигде не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (
n)/2, где n - степень характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения кривой Михайлова квадрантов комплексной.
В 1932 году Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике Z(jw) разомкнутой системы, что позволило значительно упростить расчеты. Примем во внимание тот факт, что если система управления в разомкнутом состоянии неустойчива, то ее характеристическое уравнение имеет k корней, лежащих в правой полуплоскости s. Рассмотрим функцию
1+ Z(iw) = 1 + 
. (2.1)
В числителе этой функции содержится характеристический полином замкнутой системы, в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень полинома A(s) = a0 sm + a1 sm-1+ ...+ am
не выше степени n полинома B(s)= b0 sn + b1 sn-1+ ...+ bn . Тогда степени числителя и знаменателя (2.1) одинаковы и равны n. В плоскости s функция 1+ Z(iw) изображается вектором, начало которого находится в точке (-1,0), а конец расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.
Для того, чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы при возрастании w от 0 до ¥ вектор 1+ Z(iw), скользящий своим концом по амплитудно – фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (-1, jw) в направлении по часовой стрелке k/2 раз, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Под правыми корнями здесь понимаются корни, расположенные в правой полуплоскости комплексной плоскости s.
