Критерии устойчивости Гурвица и Рауса

Критерии устойчивости Гурвица и Рауса (алгебраические)

Необходимое и достаточное условие устойчивости системы управления без решения характеристического уравнения было сформулировано Гурвицем в виде неравенств [3]. Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:

b_o sⁿ+ b₁ s^n-1+ ... + b_n = 0.

Тогда с учетом его коэффициентов может быть составлена матрица Гурвица:

При составлении матрицы Гурвица по диагонали записываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с b₁. Строки вправо от диагонали заполняются коэффициентами в порядке возрастания индексов, а слева – в порядке убывания. Несуществующие коэффициенты ассоциируются с нулем. Гурвиц доказал, что для выполнения условия устойчивости, то есть для расположения всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы при b_o > 0 все определители Гурвица (определители диагональных миноров матрицы Гурвица)

                             ₁ = b₁ > 0;       ₂ = > 0; ...

были положительными. Остановимся кратко на некоторых общих замечаниях. Вычисление определителей Гурвица высоких порядков непосредственным разложением их по элементам строки или столбца сопряжено с большим числом вычислений и неоправданной затратой времени, поэтому весьма полезны правила, упрощающие расчеты:

1) для расположения всех корней характеристического уравнения слева от 

    мнимой оси необходимо (но недостаточно), чтобы все коэффициенты b_i  

Рекомендуемые материалы

     были одного знака;

2) обращение в нуль определителя _i  свидетельствует о появлении пары

     чисто мнимых корней;

3) если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то

     все вещественные корни (если они есть) отрицательны. Комплексные 

     корни при этом могут лежать и в правой полуплоскости;

4) если в последовательности b_0, b_1, b_2,…, b_n  имеется одна перемена знака, то

     имеется один корень, лежащий в правой полуплоскости. Если число

     перемен знака равно N > 1, то число таких корней равно N;

5) критерий Гурвица удобно применять для уравнений не выше четвертой

    степени. Для более высоких степеней целесообразнее использовать 

    алгоритм Рауса, ориентированный на использование ЭВМ в расчетах.    

      Критерий Рауса состоит в следующем [4]. Положим, что найдена передаточная функция замкнутой автоматической системы в форме

                            .

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

                       = 0.

Составим таблицу, которая называется таблицей Рауса

Таблица 2.

Алгоритм составления матрицы Рауса очевиден. Сформулируем критерий устойчивости. Для того чтобы автоматическая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы выполнялись  условия:   

                                           .

       Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения отрицателен, то система неустойчива,  а если равен нулю, то это свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней, что характерно для   неустойчивых систем управления, либо находящихся  на границе устойчивости. Число отрицательных коэффициентов равно числу правых полюсов. В таблице Рауса  для упрощения расчетов элементы строк можно делить или умножать на положительные величины. Таблица, реализующая алгоритм Рауса, удобна для программирования на ЭВМ, поэтому с помощью этого метода можно исследовать на устойчивость системы высокого порядка, а также исследовать влияние на устойчивость отдельных параметров системы.