Случайные события и величины, их основные характеристики
1.1Случайные события и величины, их основные характеристики
Как уже говорилось, при анализе больших систем наполнителем каналов связи между элементами, подсистемами и системы в целом могут быть:
· продукция, т. е. реальные, физически ощутимые предметы с заранее заданным способом их количественного и качественного описания;
· деньги, с единственным способом описания — суммой;
· информация, в виде сообщений о событиях в системе и значениях описывающих ее поведение величин.
Начнем с того, что обратим внимание на тесную (системную!) связь показателей продукции и денег с информацией об этих показателях. Если рассматривать некоторую физическую величину, скажем — количество проданных за день образцов продукции, то сведения об этой величине после продажи могут быть получены без проблем и достаточно точно или достоверно. Но, уже должно быть ясно, что при системном анализе нас куда больше интересует будущее — а сколько этой продукции будет продано за день? Этот вопрос совсем не праздный — наша цель управлять, а по образному выражению “управлять — значит предвидеть”.
Итак, без предварительной информации, знаний о количественных показателях в системе нам не обойтись. Величины, которые могут принимать различные значения в зависимости от внешних по отношению к ним условий, принято называть случайными (стохастичными по природе). Так, например: пол встреченного нами человека может быть женским или мужским (дискретная случайная величина); его рост также может быть различным, но это уже непрерывная случайная величина — с тем или иным количеством возможных значений (в зависимости от единицы измерения).
Для случайных величин (далее — СВ) приходится использовать особые, статистические методы их описания. В зависимости от типа самой СВ — дискретная или непрерывная это делается по разному.
Дискретное описание заключается в том, что указываются все возможные значения данной величины (например - 7 цветов обычного спектра) и для каждой из них указывается вероятность или частота наблюдений именного этого значения при бесконечно большом числе всех наблюдений.
Рекомендуемые материалы
Можно доказать (и это давно сделано), что при увеличении числа наблюдений в определенных условиях за значениями некоторой дискретной величины частота повторений данного значения будет все больше приближаться к некоторому фиксированному значению — которое и есть вероятность этого значения.
К понятию вероятности значения дискретной СВ можно подойти и иным путем — через случайные события. Это наиболее простое понятие в теории вероятностей и математической статистике — событие с вероятностью 0.5 или 50% в 50 случаях из 100 может произойти или не произойти, если же его вероятность более 0.5 - оно чаще происходит, чем не происходит. События с вероятностью 1
называют достоверными, а с вероятностью 0 — невозможными.
Отсюда простое правило: для случайного события X вероятности P(X) (событие происходит) и P(X) (событие не происходит), в сумме для простого события дают 1.
Если мы наблюдаем за сложным событием — например, выпадением чисел 1..6 на верхней грани игральной кости, то можно считать, что такое событие имеет множество исходов и для каждого из них вероятность составляет 1/6 при симметрии кости.
Если же кость несимметрична, то вероятности отдельных чисел будут разными, но сумма их равна 1.
Стоит только рассматривать итог бросания кости как дискретную случайную величину и мы придем к понятию распределения вероятностей такой величины.
Пусть в результате достаточно большого числа наблюдений за игрой с помощью одной и той же кости мы получили следующие данные:
Таблица 2.1
| Грани | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Итого |
| Наблюдения | 140 | 80 | 200 | 400 | 100 | 80 | 1000 |
Подобную таблицу наблюдений за СВ часто называют выборочным распределением, а соответствующую ей картинку (диаграмму) — гистограммой.
Рис. 2.1
Какую же информацию несет такая табличка или соответствующая ей гистограмма?
Прежде всего, всю — так как иногда и таких данных о значениях случайной величины нет и их приходится либо добывать (эксперимент, моделирование), либо считать исходы такого сложного события равновероятными — по 
на любой из исходов.
С другой стороны — очень мало, особенно в цифровом, численном описании СВ. Как, например, ответить на вопрос: — а сколько в среднем мы выигрываем за одно бросание кости, если выигрыш соответствует выпавшему числу на грани?
Нетрудно сосчитать:
1•0.140+2•0.080+3•0.200+4•0.400+5•0.100+6•0.080= 3.48
То, что мы вычислили, называется средним значением случайной величины, если нас интересует прошлое.
Если же мы поставим вопрос иначе — оценить по этим данным наш будущий выигрыш, то ответ 3.48 принято называть математическим ожиданием случайной величины, которое в общем случае определяется как
Mx = å Xi · P(Xi); {2 - 1}
где P(Xi) — вероятность того, что X примет свое i-е очередное значение.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной)— это то, к чему стремится ее среднее значение при достаточно большом числе наблюдений.
Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в противном случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а среднее и математическое ожидание составило бы 3.5.
Поэтому уместен следующий вопрос - а какова степень асимметрии кости - как ее оценить по итогам наблюдений?
Для этой цели используется специальная величина — мера рассеяния — так же как мы "усредняли" допустимые значения СВ, можно усреднить ее отклонения от среднего. Но так как разности (Xi - Mx) всегда будут компенсировать друг друга, то приходится усреднять не отклонения от среднего, а квадраты этих отклонений. Величину
{2 - 2}
принято называть дисперсией случайной величины X.
Вычисление дисперсии намного упрощается, если воспользоваться выражением
{2 - 3}
т. е. вычислять дисперсию случайной величины через усредненную разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значения.
Выполним такое вычисление для случайной величины с распределением рис. 1.
Таблица 2.2
| Грани(X) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Итого |
| X2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
|
| Pi | 0.140 | 0.080 | 0.200 | 0.400 | 0.100 | 0.080 | 1.00 |
| Pi•X2•1000 | 140 | 320 | 1800 | 6400 | 2500 | 2880 | 14040 |
Таким образом, дисперсия составит 14.04 - (3.48)2 = 1.930.
Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой СВ и это не позволяет оценить величину разброса. Поэтому чаще всего вместо дисперсии используется квадратный корень из ее значения — т. н. среднеквадратичное отклонение или отклонение от среднего значения:
{2 - 4}
составляющее в нашем случае 
= 1.389. Много это или мало?
Сообразим, что в случае наблюдения только одного из возможных значений (разброса нет) среднее было бы равно именно этому значению, а дисперсия составила бы 0. И наоборот - если бы все значения наблюдались одинаково часто (были бы равновероятными), то среднее значение составило бы (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.500; усредненный квадрат отклонения — (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 =15.167; а дисперсия 15.167-12.25 = 2.917.
Таким образом, наибольшее рассеяние значений СВ имеет место при ее равновероятном или равномерном распределении.
Люди также интересуются этой лекцией: Особенности использования операций ++ и --.
Отметим, что значения Mx и SX являются размерными и их абсолютные значения мало что говорят. Поэтому часто для грубой оценки "случайности" данной СВ используют т. н. коэффициент вариации или отношение корня квадратного из дисперсии к величине математического ожидания:
Vx = SX/MX . {2 - 5}
В нашем примере эта величина составит 1.389/3.48=0.399.
Итак, запомним, что неслучайная, детерминированная величина имеет математическое ожидание равное ей самой, нулевую дисперсию и нулевой коэффициент вариации, в то время как равномерно распределенная СВ имеет максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации.
В ряде ситуаций приходится иметь дело с непрерывно распределенными СВ - весами, расстояниями и т. п. Для них идея оценки среднего значения (математического ожидания) и меры рассеяния (дисперсии) остается той же, что и для дискретных СВ. Приходится только вместо соответствующих сумм вычислять интегралы. Второе отличие — для непрерывной СВ вопрос о том какова вероятность принятия нею конкретного значения обычно не имеет смысла — как проверить, что вес товара составляет точно 242 кг - не больше и не меньше?
Для всех СВ — дискретных и непрерывно распределенных, имеет очень большой смысл вопрос о диапазоне значений. В самом деле, иногда знание вероятности того события, что случайная величина не превзойдет заданный рубеж, является единственным способом использовать имеющуюся информацию для системного анализа и системного подхода к управлению. Правило определения вероятности попадания в диапазон очень просто — надо просуммировать вероятности отдельных дискретных значений диапазона или проинтегрировать кривую распределения на этом диапазоне.
