Пример расчёта надёжности

                                                  6. ПРИМЕР РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ

            Структурная схема надежности приведена па рис 7.1. Значения интенсивности отказов  элементов даны в 101/ч.

Рис7.1. Исходная схема системы.

1.Висходной схеме элементы 2 и 3 образуют параллельное соединение . Заменяем их квазиэлементом А. Учитывая ,что получим:

                                       ( 7.1)                                              

2. Элементы 4 и 5 также образуют параллельное соединение, заменив которое эле­ментом В и учитывая , что,

                                               (7.2)                                                                                      

 3. Элементы 6 и 7 в исходной схеме соединены последовательно. Заменяем их элементом С , для   которого        при              получим 

Рекомендуемые материалы

                                                                    (7.3)   

                                          

4. Элементы 8 и 9 образуют параллельное соединение .Заменяем их элементом D, для которого при  получим

                                   (7.4)                                                     

5. Элементы 10 и 11 с параллельным соединением заменяем элементом Е , причем ,так как  то

                       (7.5)    

                                              

6. Элементы 12 , 13 , 14 и 15 образуют соединение "2 из 4", которое заменяем эле­ментом F. Так как, то для определения вероятности безотказной работы элемента F 'можно воспользоваться  комбинаторным методом (см. раздел 3.3):

                         (7.6)                          

                                                                7.  преобразованная схема изображена на рис.7.2.   

                                                                       8. Элементы A,B,C,D, и E  образуют (рис. 7.2) мостиковую        схему, которую можно заменить квазиэлементом G. Для расчета вероятности безотказной работы воспользуемся методом разложения относительно особого элемента (см. раздел 3.4), в качестве которого выберем элемент С.

рис. 7.2     Преобразованная схема          

Тогда

                                             (7.7)

 

где - вероятность безотказной работы мостиковой схемы при абсолютно надежном элементе С (рис. 7.3.а), -вероятность безотказной работы мостиковой схемы при отказавшем элементе С (рис.7.3.б).

                 а                                                                             б

                                             Рис. 7.3. Преобразования мостиковой схемы при

                                        абсолютно надежном (а) и отказавшем (б) элементе С             

Учитывая, что , получим

                   (7.8.)

9.  После преобразований схема изображена на рис. 7.4.

                                                                        10. В преобразованной схеме (рис.7.4.) элементы 1,G и F

   образуют последовательное соединение. Тогда ве-

                                                             роятность

                                                                                безотказной работы всей системы

                                                                                   

Рис. 7.4. Преобразованная схема                                                                      (7.9.)

                                                                              

                                                                           11. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы :элементов с 1 по 15 (рис. 7.1.) подчиняются экспоненциальному  закону :

                            exp(-).                                                                                     (7.10)

                                    

12.    Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов        1-15 ис­
ходной схемы по формуле (7.10) для наработки до 3-10 часов представлены в таблице 7.1.

13.    Результаты расчетов- вероятностей безотказной работы квазиэлементов А, В, С,
D, Е, F и G по формулам (7.1) - (7.6) и (7.8) также представлены в таблице 7.1.

14.    На рис. 7.5 представлен график зависимости вероятности безотказной работы
системы Р от времени (наработки) t.

15.    По графику (рис. 7.5, кривая Р) находим для  γ= 50%  (Р = 0.5) γ- процентную
наработку системы Т_γ =1.9 *10 ч.

16. Проверочный    расчет   при    t= 1.9-10    ч    показывает   (таблица   7.1),   что
P_γ =0.4923≈0.5.

         17.  По условиям задания повышенная    γ - процентная наработка системы

=1.5-T. = 1,5•1.9•10 = 2.85-10 ч.

18. Расчет показывает (таблица 7.1), что при t =2.85×10⁶ ч для элементов преобразованной схемы (рис. 7.4) p₁=0.9972, p_G = 0.9594 и p_F = 0.2458. Следовательно, из трех по- следовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент F (система “2 из 4” в исходной схеме (рис. 7.1)) и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом

19. Для того, чтобы при = 2.85×10⁶ ч система в целом имела вероятность безотказной работы Р_g =0.5, необходимо, чтобы элемент F имел вероятность безотказной работы (см. формулу (7.9))

.                                          (7.11)

При этом значении элемент F останется самым ненадежным в схеме (рис. 7.4) и рассуждения вп. 18 останугся верными.

Очевидно, значение Р, полученное по формуле (7.11), является минимальным для выполнения условия увеличения наработки не менее, чем в 1.5 раза, при более высоких значениях p_F, увеличение надежности системы будет большим.

 

20. Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов 12 - 15 (рис. 7.1) необходимо решить уравнение (7.6) относительно p₁₂ при p_F=0.5226. Однако, т.к. аналитическое выражение этого уравнения связано с определен ными трудностями , более целесообразно использовать графоаналитический метод. для этого по данным табл. 7.1 строим график зависимости p_F =f

21. По графику при p_F = 0.5226 находим p₁₂ »0,4.

22. Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону (7.10), то для элементов 12 - 15 при t=2.85×10⁶ находим

         (7.12)

23. Таким образом, для увеличения g - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов 12, 13, 14 и 15 и снизить интенсивность их отказов с 0.5 до О.З22×10^-6 ч^-1, т.е. в 1.55 раза.

24. Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов 12, 13, 14 и 15 приведены в таблице 7.1. Там же приведены расчетные значения вероятности без- отказной работы системы “2 из 4” F` и системы в целом Р` При t= 2.85×10⁶ ч вероятность

Безотказной работы системы Р`=0,5011≈0,5,что соответствует условиям задания.График

приведен на рис 7.5.

25.Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы -
структурного резервирования - по тем же соображениям (см. п. 18 также выбираем эле-
мент F, вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не
ниже 0.5226 (см. формулу (7.11 )).

26.Для элемента F - системы "2 из 4" - резервирование означает увеличение общего

тов невозможно, т.к. число элементов должно быть целым и функция p_f =f(n) дискретна.

27.Для повышения надежности системы «2 из 4» добавляем к ней элементы , идентичные    

по надежности исходным элементам 12-15. до тех пор, пока вероятность безотказ­ной работы квазиэлемента F не достигнет заданного значения.

Для расчета воспользуемся комбинаторным методом (см раздел 3.3) :

-      добавляем элемент 16, получаем систему ''2 из 5":

<                   (7.13)

                                                                  (7.14)

 

-      добавляем элемент 17, получаем систему "2 из 6":

                           (7.15)

<0,5226                                                       (7.16)

)

-      добавляем элемент 18, получаем  систему «2 из 7»:

                           (7.17)

> 0.5226;                                                        (7.18)

                                                                                   

                                                                                         .

                      28. Таким образом для повышения    надежности до требуемого уровня необходимо в исходной схеме (рис.7.1) систему «2 из 4» достроить  элементами 16,17 и 18 до системы «2 из 7» (рис.729. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы системы «2 из 7» F” и системы в целом Р” представлены в таблице 7.1.

30. Расчеты показывают, что при t=2,85*10ч Р”=0,5081>0,5   , что соответствует условиюзадания.                          

 31. На рис. 7.5 нанесены кривые зави­симостей  вероятности безотказной работы системы после

повышения надежности эле­ментов 12-15      (кривая        Р`) и после структурного   резервирования (кривая Р”).

Выводы:  

1.На рис. 7.5 представлена зависимость, вероятности безотказной работы системы
(кривая   Р).  Из  Графика  видно,  что  50%  -  наработка  исходной  системы  составляет
1.9-10'часов.

2.Для повышения надежности и увеличении 50% - наработки системы в 1.5 раза (до 2.85-10⁶

Лекция 11 - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

Часов) предложены два способа:

а) повышение: надежности элементов 12, 13, 14 и 15 и уменьшение их отказов с

0.5 до 0.322*10-⁶ ч-¹;

        б) нагруженное резервирование основных элементов 12,13,14,15  идентичными по надежности резервными элементами 16,17, и 18 (рис. 7.7).

ми по надежности резервными элементами 16, 17 и 18 (рис. 7.7).

3.Анализ зависимостей вероятности безотказной работы системы от времени (нара­
ботки) (рис. 7.5) показывает, что второй способ повышения надежности системы (струк-
турное резервирование) предпочтительнее первого, так как в период наработки до 2.85-10⁶
часов вероятность безотказной работы системы при стpyктурном резервировании (кривая Р")