Резонансы в цепях переменного тока
§ 6.5. Резонансы в цепях переменного тока.
1. Резонанс напряжений.
Рассмотрим 
- цепь с элементами, включенными последовательно (рис.6.1). Векторная диаграмма тока и напряжений такой цепи приведена на рис.6.14, откуда:
; (6.60)
. (6.61)
Из диаграммы рис.6.14 и формулы (6.61) видно, что при 
, 
; 
; 
. При таком условии получено максимальное значение тока, что эквивалентно условию:
. (6.62)
При этом 
, т.е. 
, где 
- добротность контура (6.43); при малом затухании 
: 
, т.е. при резонансе 
и в раз больше, чем 
.
Рекомендуемые материалы
Исследуем зависимости 
. Для этого преобразуем формулы следующим образом. Ток в цепи:
(6.63)
Напряжение на элементах цепи:
; (6.64)
; (6.65)
. (6.66)
Зависимость угла 
- разности фаз между 
и - от частоты:
. (6.67)
Графические зависимости (6.64) и (6.67) представлены на рис.6.16 (а и б, соответственно).
Достигают ли максимума 
и при каких частотах?
Условие 
отвечает минимуму знаменателя (6.66).
. (6.68)
Продифференцировав, получаем: 
, откуда:
или:
. (6.69)
Максимальное значение 
при этом:
. (6.70)
При совпадении частоты вынужденных колебаний и собственной частоты наблюдается резонанс: 
.
 |
При
Найдем условие максимума 
.
.
Упростим: 
, откуда:
. (6.71)
Значение при этом:
. (6.72)
При 
.
При 
Таким образом, 
достигают максимума при частотах, не равных 
. Оценим, насколько велико это отличие. Так, при 
: 
; 
.
Графики частотной зависимости (6.64), (6.65) и (6.66) приведены на рис.6.17. Из графиков видно, что если выходным сигналом является , то контур служит для ослабления высоких частот (высокочастотный фильтр –ВЧ-фильтр). Если же на выходе снимается , то ослабляется низкочастотная часть, и контур служит низкочастотным фильтром (НЧ-фильтром).
Оценим отличие 
по (6.69) и (6.71).
Для 
. Следовательно, при большой добротности, т.е. при малом затухании, можно считать, что максимумы 
совпадают по частоте. Величины максимумов 
в раз больше, чем 
.
2. Резонанс токов.
Резонанс токов происходит в цепи с параллельным включением 
и 
(рис.6.18). Он носит еще название “антирезонанса”, или “параллельного резонанса”.
Поскольку изучается цепь с параллельно соединенными элементами, будем оперировать комплексной величиной проводимости 
. Емкостная проводимость:
. (6.75)
Найдем индуктивную проводимость:
(6.76)
Суммарная проводимость:
(6.77)
Условие резонанса имеет следующий вид:
, (6.78)
т.е. 
. Согласно (6.77): 
, откуда:
. (6.79)
При данном условии 
, тогда
(6.80)
где , по-прежнему, добротность контура.
Ток во внешней цепи 
, при этом, имеет минимальное значение (антирезонанс):
. (6.81)
Найдем значения токов 
(см. рис.6.18).
. (6.82)
Зависимость является линейной по 
: ток 
линейно растет с увеличением частоты.
Для случая 
(6.83)
Теперь найдем 
.
. (6.84)
Зависимость индуктивного тока (6.84) является монотонно убывающей функцией частоты.
Для случая
. (6.85)
Видно, что при 
и
. (6.86)
Тогда при 
.
Определим частотную зависимость 
. Для этого найдем 
из (6.77):
(6.87)
Таким образом:
(6.88)
На рис.6.19 изображены зависимости токов (6.82), (6.84) и (6.88) от частоты. При
.
.
Т.е. при 
.
Оценим все величины для 
:
.
.
Из отношения 
при 
можно определить . Из рис.6.19 видно, что вблизи происходит ослабление частот (полосовой фильтр).
Рассмотрим векторные диаграммы токов и напряжений для цепи рис.6.18. 
совпадают по фазе и по величине. Учтем, что:
Рекомендация для Вас - Организационное поведение.
.
.
Сначала рассмотрим векторную диаграмму для случая 
, так называемого идеального контура, при резонансе (рис.6.20). За исходный примем вектор напряжения 
на контуре. Так как при резонансе реактивные сопротивления равны 
, одинаковыми будут амплитуды токов 
и 
. Ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на контуре на угол =
, а ток в емкости опережает это напряжение на такой же угол. В результате, векторы токов и направлены в противоположные стороны. Их сумма равна нулю, что означает отсутствие тока в неразветвленной части цепи.
При резонансе в реальном контуре 
расположение векторов на диаграмме несколько иное (рис.6.21). Из-за сопротивления потерь угол 
между векторами 
и 
оказывается меньше , поэтому сумма векторов 
и дает вектор 
, соответствующий некоторому току с амплитудой 
в неразветвленной части цепи. Поскольку рассматривается режим резонанса, векторы и совпадают по направлению, что свидетельствует об активном характере входного сопротивления цепи. Амплитуды токов 
и в раз больше амплитуды тока (см.(6.81), (6.83), (6.86)). Благодаря току в контур от источника поступает энергия, которая рассеивается на активном сопротивлении, поддерживая тем самым постоянство амплитуды колебаний.
Теперь предположим, что 
. При этом 
, а 
. Векторная диаграмма для этого случая приведена на рис. 6.22.
Как видно из диаграммы, угол между векторами и 
положительный и меньше . Это означает, что ток 
опережает по фазе напряжение на контуре. Длина вектора в рассматриваемом случае больше, чем при резонансе. Это означает, что амплитуда тока в неразветвленной части цепи при 
(расстройка контура) больше, чем при резонансе. Причина увеличения амплитуды тока заключается в том, что при расстройке контура одновременно с процессом обмена энергиями между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки происходит обмен энергиями между источником и реактивными элементами контура. Чем больше расстройка, тем большее количество энергии участвует в процессе обмена между источником и элементами контура, и, следовательно, тем больше амплитуда в неразветвленной части цепи. При этом угол сдвига фаз между напряжением и током также увеличивается, стремясь к .
