Резонансы в цепях переменного тока

§ 6.5. Резонансы в цепях переменного тока.

1. Резонанс напряжений.

         Рассмотрим - цепь с элементами, включенными последовательно (рис.6.1). Векторная диаграмма тока и напряжений такой цепи приведена на рис.6.14, откуда:

;                         (6.60)

.                         (6.61)

Из диаграммы рис.6.14 и формулы (6.61) видно, что при , ; ; . При таком условии получено максимальное значение тока, что эквивалентно условию:

.                                          (6.62)

При этом , т.е. , где - добротность контура (6.43); при малом затухании : , т.е. при резонансе  и в  раз больше, чем .

Рекомендуемые материалы

         Исследуем зависимости . Для этого преобразуем формулы следующим образом. Ток в цепи:

                  (6.63)

Напряжение на элементах цепи:

         ;                           (6.64)

;  (6.65)

.  (6.66)

Зависимость угла  - разности фаз между  и - от частоты:

.                                     (6.67)

Графические зависимости (6.64) и (6.67) представлены на рис.6.16 (а и б, соответственно).

         Достигают ли максимума  и при каких частотах?

Условие  отвечает минимуму знаменателя (6.66).

.                      (6.68)

Продифференцировав, получаем: , откуда:

 или:

.      (6.69)

Максимальное значение  при этом:

.         (6.70)

При совпадении частоты вынужденных колебаний и собственной частоты наблюдается резонанс: .

При

Найдем условие максимума .

.

Упростим: , откуда:

.                         (6.71)

Значение  при этом:

.             (6.72)

При   .

При

Таким образом,  достигают максимума при частотах, не равных .  Оценим, насколько велико это отличие. Так,  при : ; .

Графики частотной зависимости (6.64), (6.65) и (6.66) приведены на рис.6.17. Из графиков видно, что если выходным сигналом является , то контур служит для ослабления высоких частот (высокочастотный фильтр –ВЧ-фильтр). Если же на выходе снимается , то ослабляется низкочастотная часть, и контур служит низкочастотным фильтром (НЧ-фильтром).

Оценим отличие  по (6.69) и (6.71).

Для . Следовательно, при большой добротности, т.е. при малом затухании, можно считать, что максимумы  совпадают по частоте. Величины максимумов  в  раз больше, чем .

2. Резонанс токов.

Резонанс токов происходит в цепи с параллельным включением  и  (рис.6.18). Он носит еще название “антирезонанса”, или “параллельного резонанса”.

Поскольку изучается цепь с параллельно соединенными элементами, будем оперировать комплексной величиной проводимости . Емкостная проводимость:

.              (6.75)

Найдем индуктивную проводимость:

(6.76)

Суммарная проводимость:

    (6.77)

Условие резонанса имеет следующий вид:

,                                         (6.78)

т.е. . Согласно (6.77): , откуда:

.                                  (6.79)

При данном условии , тогда

                               (6.80)

где , по-прежнему, добротность контура.

         Ток  во внешней цепи , при этом, имеет минимальное значение (антирезонанс):

.                          (6.81)

Найдем значения токов  (см. рис.6.18).

.                          (6.82)

Зависимость является линейной по : ток  линейно растет с увеличением частоты.

Для случая

                                      (6.83)

Теперь найдем .

.          (6.84)

Зависимость индуктивного тока (6.84) является монотонно убывающей функцией частоты.

Для случая

.                             (6.85)

Видно, что при  и

.                           (6.86)

Тогда при  .

Определим частотную зависимость . Для этого найдем  из (6.77):

         (6.87)

Таким образом:

                          (6.88)

На рис.6.19 изображены зависимости токов (6.82), (6.84) и (6.88) от частоты. При

.

.

Т.е. при .

Оценим все величины для :

.

.

Из отношения  при  можно определить . Из рис.6.19 видно, что вблизи происходит ослабление частот (полосовой фильтр).

         Рассмотрим векторные диаграммы токов и напряжений для цепи рис.6.18.  совпадают по фазе и по величине. Учтем, что:

Рекомендация для Вас - Организационное поведение.

.

.

Сначала рассмотрим векторную диаграмму для случая , так называемого идеального контура, при резонансе (рис.6.20). За исходный примем вектор напряжения  на контуре. Так как при резонансе реактивные сопротивления равны , одинаковыми будут амплитуды токов  и . Ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на контуре  на угол =, а ток в емкости опережает это напряжение на такой же угол. В результате, векторы токов  и  направлены в противоположные стороны. Их сумма равна нулю, что означает отсутствие тока в неразветвленной части цепи.

При резонансе в реальном контуре  расположение векторов на диаграмме несколько иное (рис.6.21). Из-за сопротивления потерь угол  между векторами  и  оказывается меньше , поэтому сумма векторов  и  дает вектор , соответствующий некоторому току с амплитудой  в неразветвленной части цепи. Поскольку рассматривается режим резонанса, векторы  и  совпадают по направлению, что свидетельствует об активном характере входного сопротивления цепи. Амплитуды токов  и в  раз больше амплитуды тока  (см.(6.81), (6.83), (6.86)). Благодаря току  в контур от источника поступает энергия, которая рассеивается на активном сопротивлении, поддерживая тем самым постоянство амплитуды колебаний.

Теперь предположим, что . При этом , а . Векторная диаграмма для этого случая приведена на рис. 6.22.

Как видно из диаграммы, угол  между векторами  и  положительный и меньше . Это означает, что ток  опережает по фазе напряжение на контуре. Длина вектора  в рассматриваемом случае больше, чем при резонансе. Это означает, что амплитуда тока в неразветвленной части цепи при  (расстройка контура) больше, чем при резонансе. Причина увеличения амплитуды тока заключается в том, что при расстройке контура одновременно с процессом обмена энергиями между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки происходит обмен энергиями между источником и реактивными элементами контура. Чем больше расстройка, тем большее количество энергии участвует в процессе обмена между источником и элементами контура, и, следовательно, тем больше амплитуда в неразветвленной части цепи. При этом угол сдвига фаз между напряжением  и током  также увеличивается, стремясь к .