Основные понятия квантовой теории информации

Лекция 4

Основные понятия квантовой теории информации

1. Описание состояний в квантовой механике. Волновая функция. Принцип суперпозиции. Чистые и смешанные состояния. Вычисление средних величин. Матрица и оператор плотности. Свойства матрицы плотности, ее размерность. Аналогия с классическими поляризационными состояниями. Линейные операторы.

2. Энтропия фон Неймана. Случаи чистых и смешанных состояний. Вычисление энтропии фон Неймана и Шеннона для двухуровневой системы.

В квантовой механике физическим величинам ставятся в соответствие операторы. Пусть f физическая величина (координата, энергия, энтропия). Зная волновую функцию системы, можно предсказать моменты физической величины, например, ее среднее значение:

.

Волновая функция составляет основу математического аппарата квантовой механики. Каждое состояние системы может быть описано в данный момент времени определенной комплексной функцией, например, координат Y(r). Квадрат модуля этой функции определяет распределение вероятностей значения координат:  - есть вероятность того, что произведенное над системой измерение обнаружит значение координат в элементе объема  конфигурационного пространства (об измерении будет разговор в дальнейшем). Y - волновая функция или амплитуда вероятности была введена Э.Шредингером в 1926г.

Вообще, квантовый объект, т.е. величина f в зависимости от предыстории может оказаться в одном из трех типов состояний:

1) в собственном состоянии j_n какого-нибудь оператора (например, энергии), когда априори известно, что

Рекомендуемые материалы

 и, следовательно, f не флуктуирует. В этом случае квантовые флуктуации отсутствуют и моменты величины f:

В частности и дисперсия .

Например, состояние  в вертикально-горизонтальном базисе представляется однозначно , т.е. при измерении этого состояния с помощью поляризационного светоделителя, отсчеты будут регистрироваться только -детектором. Квантовые флуктуации, обусловленные вероятностной природой волновой функции отсутствуют.

2) в чистом состоянии Y, образованном суперпозицией или разложением в базисе векторов j_n

.

В этом случае принципиальными становятся квантовые флуктуации величины f, поскольку известны лишь вероятности  измерить то или иное значение f_nn:

.

Например, состояние . Соответствующие вероятности зарегистрировать отсчет равны 50% - проявляются квантовые флуктуации.

Здесь уместно напомнить о т.н. принципе суперпозиции - одном из основных утверждений квантовой механики, на котором строятся многие понятия квантовой информации.

Принцип суперпозиции (Ландау, Лифшиц)

Пусть в состоянии с волновой функцией некоторое измерение приводит с достоверностью к определенному результату (I), а в состоянии  - к результату (II). Тогда принимается, что всякая линейная комбинация , т.е. всякая функция вида  (a и b - комплексные числа) описывает такое состояние, в котором то же измерение дает либо результат (I), либо результат (II). Этот принцип без труда можно объединить на случай n состояний.

Итак, суперпозиция функций  снова дает чистое состояние с определенной волновой функцией. В таком состоянии среднее значение оператора  содержит интерференционный член:

          (1)

3) В смешанном состоянии. В таком состоянии добавляется неполнота информации о волновой функции, которую дает некогерентная смесь волновых функций. При этом отсутствуют интерференционные члены - третье слагаемое в сумме (1). Матричные элементы f_ij содержат квантово-механическое усреднение. К нему добавляется классическое усреднение с помощью распределений P_i и обычных правил теории вероятностей при вычислении средних величин:

,

где P_n - действительные положительные числа, и .

Чистые и смешанные состояния имеют тесную аналогию с когерентными и некогерентными полями в оптике. Так, когерентное сложение полей приводит к возведению в квадрат суммы полей, в то время как некогерентная смесь полей от двух независимых источников со случайными флуктуациями фаз - к сложению интенсивностей, т.е. квадратов модулей соответствующих полей.

Вычисление средних величин

Рассмотрим задачу вычисления средних значений физических величин в квантовой теории в общем случае смешанного состояния, когда имеется ансамбль чистых состояний, распределенных с классической функцией распределения Р. При вычислении средних значений в каждом из чистых состояний, составляющих смесь, добавляется индекс “i”:

,                                                                              (2)

где dt - набор дифференциалов пространственных переменных. После квантово-механического усреднения с помощью волновой функции необходимо усреднять выражения (2) по классическому распределению вероятностей P(i):

.                                                                                     (3)

Таким образом, квантовый ансамбль подобен ансамблю Гиббса в статистической физике, который состоит из совокупности систем, распределенных с вероятностями P(p,q) по возможным состояниям системы.

В квантовой механике полагается. что P₁N систем ансамбля находится в состоянии Y₁, P₂N систем - в состоянии Y₂,..... P_iN систем - в состоянии Y_i, где N - общее число систем. Видно, что в смешанном состоянии волновая функция не определена, но имеется набор чисел P_i, определяющих вероятность того, что система находится в чистом состоянии Y_i.

Пусть соответствующее чистое состояние определяется конечным набором собственных функций какого-нибудь оператора (например, поляризации - это две ортогональные поляризации). Тогда произвольное чистое состояние:

.                                                                        (*)

Вообще говоря . Векторы (волновые функции)  называются базисными, а представление (*) - базисным или n-представлением.

Подставим эту волновую функцию в выражение для среднего значения (2):

Усредним это выражение по статистическому ансамблю (3):

.

Тогда

 - сумма диагональных элементов. Здесь r:  - квадратная матрица  - матрица плотности, которая полностью задает смешанное состояние. Зная матрицу плотности, можно вычислять средние значения операторов. Иногда говорят об операторе плотности

                                                              (4)

Свойства матрицы плотности

1.  - эрмитовость

2.  - нормировка

3.  - только для чистых состояний (одно слагаемое в статистическом усреднении)

4.  - это следствие второго свойства.

Замечание. В энергетическом представлении диагональные элементы  - населенности уровней, а недиагональные характеризуют степень корреляции  состояний n и m  в статистическом ансамбле. Поэтому  условие  эквивалентно “вероятность найти систему на каком-то уровне = 1”. В то же время если амплитуды состояний различных систем ансамбля содержат случайный фазовый множитель , то при m ¹ n

и состояние ансамбля полностью характеризуется населенностями состояний r_n.

Свойство  - неотрицательность вероятности. Свойство эрмитовости (1) - обеспечивает действительность наблюдаемых величин.

Из определения следует, что для чистого состояния  Для смешанного состояния элементы матрицы плотности удовлетворяют неравенству Коши-Буняковского:

Размерность матрицы плотности.

Если состояние чистое, то описание возможно с помощью волновой функции, отсюда - n комплексных чисел, 2n - действительных. Нормировка - 2n - 1. Общая фаза ВФ не важна - 2n - 2. Например, двухуровневая система:

. .

Два числа: .

Если замкнутая система находится в одном из чистых энергетических состояний:

.                                                                                   (5)

Тогда из определения м.п. (4) лишь один ее элемент отличен от нуля: .

Обычно свойство третье свойство матрицы плотности или матричное уравнение

                                                                                               (6)

используется для проверки “чистоты” состояния. Другими словами, нарушение равенства (6) может служить признаком смешанного состояния. Однако существует другая более удобная мера смешанности квантовых состояний. Эта мера является статистической величиной и широко используется в квантовой информации - энтропия.

Энтропия фон Неймана

До сих пор мы говорили о классической энтропии или об энтропии Шеннона (информационное содержание). Эта характеристика показывает неопределенность, возникающую при описании с помощью классического распределения вероятностей. Обобщим это понятие на квантовый случай

Определим оператор энтропии через оператор плотности :

,

по аналогии с тем, как это делалось в статистической физике, где роль  играла функция распределения. тогда, очевидно, физическая величина “энтропия” или S есть среднее значение этого оператора  или по правилам вычисления средних величин в квантовой механике:

.                                                                           ( 7)

Встает вопрос, как вычислять логарифм оператора (например, недиагональные элементы матрицы плотности - вообще могут быть комплексными величинами, для которых логарифм не определен).

Некоторые полезные сведения о линейных операторах в квантовой теории.

1. Наблюдаемые и динамические величины представляются линейными операторами, т.е. линейными преобразованиями, связывающие два вектора (начальный и конечный). Если А - оператор, а  - вектор, то преобразованным вектором будет . Этот преобразованный вектор в общем случае имеет другую длину и направление в гильбертовом пространстве.

2. Скалярное произведение этого преобразованного вектора на вектор  будет .

3. Операторы можно складывать, умножать на комплексное число - так получаются другие операторы.

4. Единичный оператор  оставляет все операторы без измерений.

5. Если для всех нормированных векторов  и  выполняется , то оператор А называется ограниченным, а наименьшее значение b  - нормой оператора А и обозначается . В конечномерном гильбертовом пространстве каждый оператор ограничен; но это не так для бесконечномерного пространства.

6. Оператору А соответствует матрица {А_mn} с элементами  - m-ая компонента вектора  для некоторого ортонормированного базиса

7. Разложение единицы: . Это верно для произвольного полного ортонормированного базиса.

Следствие. Вектор  можно представить с помощью последовательности , где

.

8. Оператор , сопряженный оператору А, определяется соотношением

 - для всех .

9. Нормальным называется оператор, для которого .Для них справедлива теорема о спектральном разложении: Любой нормальный оператор М, определенный на векторном пространстве V, имеет диагональное представление в некотором базисе принадлежащем V. Справедливо и обратное утверждение. Следствие: , где  - собственные значения, а  - ортонормированный базис (на V).

10. Унитарным называется оператор, для которого . Для унитарных операторов норма

11. Эрмитовым называется оператор А , для которого . Эрмитовы операторы - нормальные. Для эрмитовых операторов значение  всегда действительно. Физическим величинам (наблюдаемым) соответствуют эрмитовы операторы. Эрмитов оператор А, удовлетворяющий условию  для всех  называется положительным.

12. В конечномерном гильбертовом пространстве каждому эрмитовому оператору соответствует полный набор ортогональных собственных векторов и действительных собственных значений, для которых имеет место соотношение . Если оператор положителен, то собственные значения неотрицательны. Важно заметить, что в представлении базиса  (в собственном представлении) оператор А диагонален, т.е. . В гильбертовом пространстве бесконечным числом измерений можно диагонализовать не каждый эрмитов оператор, даже если он ограничен.

Оказывается, что энтропия фон Неймана, определяемая через матрицу плотности, инвариантна относительно выбора базиса или представления. Тогда, переходя к диагональному представлению, получим:

.                                                                                         (8)

В диагональном представлении элементы  совпадают с собственными значениями матрицы.

Собственные значения матрицы находятся по правилу:

Напоминание: Пусть А - квадратная матрица n х n, тогда любой вектор х, из пространства Vⁿ для которого выполняется Ах = lх называется собственным вектором, а l - собственным значением матрицы. Это уравнение эквивалентно уравнению (A-lI)х = 0. Это однородная система линейных уравнений. Нетривиальные решения имеются тогда, когда определитель равен нулю:

det(A-lI) = 0. Или .

Рассмотрим две ситуации.

1. Чистое состояние. В этом случае возможно описание квантовой системы с помощью волновой функции (*) в базисном представлении (т.е. В.Ф. - это когерентная суперпозиция базисных состояний какого-нибудь оператора):

.

В этом случае, конечно матрица плотности недиагональна. Наличие недиагональных элементов в базисном представлении как раз и отражает факт когерентности суперпозиции базисных состояний. Вообще же матрица плотности любой физической системы должна быть положительно определена, т.е. все ее собственные значения должны лежать в интервале [0,1]. Из теоремы о спектральном разложении следует, что матрица плотности может быть представлена в диагональном виде. Физически, это осуществляется при переходе к другому базису с помощью унитарных преобразований: . Таким образом, чистое состояние системы всегда может быть представлено в виде собственного состояния какого-нибудь оператора. Например, рассмотрим когерентную суперпозицию двух состояний или кубит:

Пусть. Полным аналогом такого состояния является состояние поляризации света, когда поляризация составляет угол 45⁰ с вертикалью. Действительно, измерения поляризации отдельных фотонов в этом состоянии будут давать либо горизонтальную, либо вертикальную поляризации с вероятностью 1/2. В то же время. Измерения, проводимые в базисе +45⁰ - всегда будут давать достоверный результат.

Эти рассуждения можно обобщить на случай произвольной (эллиптической) поляризации, когда в разложении волновой функции отличны от нуля два комплексных коэффициента.

Но в чистом состоянии (*), как было показано в примере[1],  лишь один элемент матрицы плотности отличен от нуля, т.е. , а значит S = 0. Как было показано на предыдущих лекциях, равенство нулю энтропии интерпретируется как минимальная неопределенность (хаотичность). Вопрос: а когда неопределенность будет максимальна?

2. Смешанное состояние. Рассмотрим однородную смесь состояний:  где, как обычно, Г - число состояний с данной энергией, т.е. микроканонический ансамбль Гиббса.

В смешанном состоянии, как было показано выше, недиагональные элементы матрицы плотности равны нулю - матрица имеет диагональный вид с диагональными элементами [2].

Известно, что в диагональном представлении функции от операторов удовлетворяют соотношению:

, где функционал F в данном случае - логарифм.

Тогда,  и из (8) следует, что

.

Отсюда видно, что выполняется неравенство .

Рассмотрим двухуровневую систему, когда волновая функция имеет вид:

.                                                                                            (9)

Такой волновой функцией описываются, например, электронные или ядерные спины, двухуровневые атомы и проч. Это объект, который называется кубит - квантовый бит. Пусть основному состоянию атома приписывается значение собственного вектора |0>, а возбужденному  - собственный вектор |1> (или значение проекции на ось z спина). Эти векторы в квантовой механике записываются в виде столбцов|a> (a  = 0, 1)

Собственные “бра” векторы <a| образуют эрмитово-сопряженные строки:

. Вектор состояния оканчивается на окружности единичного радиуса в двухмерном гильбертовом пространстве. Измерение такого состояния состоит в определении коэффициентов разложения, или проекций измеряемого состояния на базисные состояния:

Собственному представлению оператора плотности двухуровневой системы, находящейся в чистом состоянии, соответствует диагональная матрица, выраженная через собственные векторы:

причем двум возможным (собственным) состояниям отвечают следующие матрицы плотности:

. (Видно, что ). Т.о. для каждого a = 0, 1 у двухуровневой системы, находящейся в чистом состоянии, имеется только одно ненулевое значение матрицы, равное 1

Для смешанного состояния и выбранного базиса матрица плотности имеет диагональный вид, поскольку недиагональные элементы, отвечающие за “когерентность” суперпозиции (9) равны нулю:

Отсюда сразу следует, что энтропия S совпадает с классической энтропией Шеннона случайной величины . Забегая вперед, можно сказать, что энтропия фон Неймана совпадает с энтропией Шеннона.

Рассмотрим когерентную суперпозицию (9). Тогда вектор ее состояния:

Матрица плотности этого чистого состояния уже недиагональна и в базисном представлении имеет вид:

                                                                         (10)

Составим уравнение для собственных значений матрицы (10):

и, тогда .

Этот результат носит общий характер в силу произвольности выбора рассматриваемого чистого состояния (9) - собственные значения матрицы плотности чистого состояния  (размерности d) равны:.

Далее, найдем энтропию Шеннона чистого состояния суперпозиции (9), исходя из формального определения, в котором фигурируют некие вероятности. Она похожа (совпадает) с энтропией смешанного состояния с заданными классическими вероятностями заполнения или населенностями , поскольку не учитывает вклада недиагональных членов

 Итак, энтропия Шеннона оказывается:

.

Максимальное значение эта величина достигает при , когда.

Отметим, что отличие матрицы плотности чистого состояния от смешанного состоит в том, что матрица плотности чистого состояния имеет только одно ненулевое собственное значение, равное единице, в то время как для смешанного состояния у матрицы плотности отличны от нуля несколько собственных значений - т.н. парциальные (т.е. взвешенные с классическими вероятностями) населенности соответствующих чистых состояний.

Энтропия фон Неймана, определяемая через матрицу плотности, согласно (8), в отличие от энтропии Шеннона, инвариантна относительно выбора представления матрицы плотности. Из (8) видно, что

.

Таким образом, кодирование информации в суперпозиционных состояниях вида  бессмысленно - их информационное содержание равно нулю. Кодирование с помощью чистых ортогональных состояний  не дает ничего нового в информационном смысле по сравнению с классической кодировкой. Остается одна возможность - кодирование при помощи чистых и неортогональных состояний. В канал запускается смесь таких состояний (с вероятностями p₁....p_n); их информационное содержание .

Приложения. (необязательно)

В квантовой механике доказывается, что любой эрмитов оператор, действующий в гильбертовом пространстве двухуровневой системы, можно представить в виде суммы:

,                                                                           (П1)

где a, b, c, d - вещественные числа, а - операторы Паули:

Операторы Паули удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

Подставляя выражения для операторов Паули в разложение для f, находим:

                                                                                    (П2)

Часто разложение для f пишут в другом (эквивалентном) виде:

      (Ё)

Заметим, что коэффициенты разложения (П1) произвольного оператора f по матрицам Паули имеют непосредственный физический смысл. Они определяют два разрешенных значения, которые принимает наблюдаемая f при отдельных измерениях (проблема измерений квантовых состояний - будет рассмотрена ниже). Составим уравнение для собственных значений (П2):

и, тогда

Вам также может быть полезна лекция "Активное слушание".

.

ЛИТЕРАТУРА:

1. К.А.Валиев, А.А.Кокин Квантовые компьютеры: надежда и реальность. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001. - 352 с.

2. Д.Н.Клышко. Физические основы квантовой электроники. Москва, Наука, 1986, 293с.

[1] Матрицу плотности чистого состояния всегда можно привести к диагональному (или собственному) виду, когда лишь один диагональный элемент равен единице, а остальные диагональные элементы равны нулю (недиагональные элементы тоже равны нулю).

[2] Матрицу плотности смешанного состояния всегда можно привести к диагональному виду, но по диагонали будут стоять классические вероятности p₁......p_n