Холодные ионы в ловушках

1. Будем считать, что кубит - это двухуровневый ион. Эти уровни должны быть долгоживущими, что даст возможность пренебречь процессами спонтанного излучения - одним из основных факторов, приводящих к декогернции.

2. Предположим, что к каждому иону имеется доступ при помощи сфокусированного лазерного излучения (Рис.1.).

3. Ионы находятся в линейной ловушке (Пауля), что ограничивает их поступательное движение (Рис.2.).

4. Благодаря кулоновскому взаимодействию (отталкиванию), направленному вдоль оси ловушки, возникает коллективное движение ионов. Это приводит к тому, что отдельные ионы могут взаимодействовать между собой посредством “колебательной шины данных”.

5. Чтение конечного состояния такого регистра ионов осуществляется с помощью других лазеров.

Будем считать, что ионы в ловушке имеют по крайней мере один долгоживущий (узкий) уровень. Такой уровень может оказаться в микроволновом диапазоне (например, благодаря переходу в сверхтонкой структуре), либо в оптическом диапазоне (переходы в метастабильное возбужденное состояние). Например, используются ионы бериллия с переходом в УФ диапазоне на длине волны 313нм (переход ).

Итак, предположим, что ионы, благодаря конфигурации ловушки, двигаются в гармоническом потенциале с частотами

(21.1)

Это соотношение означает, что ионы локализованы вдоль оси z и их поперечным движением можно пренебречь.

Схема уровней, показанная на рис.2 является типичной для редкоземельных ионов.

Далее будем предполагать, что ионы охлаждены до температур порядка 10^-6 К, поэтому колебательные движения вдоль оси z происходят так, что все они находятся в основном состоянии, т.е. в состоянии равновесия. В этом случае движение ионов описывается в терминах нормальных мод, т.е. сводится к движению несвязанных осцилляторов. Осцилляторы могут быть проквантованы стандартным способом. Низшее возбужденное состояние колебаний является возбужденным состоянием движения центра масс N ионов (ЦМ).

Коллективные колебания ЦМ служат своеобразной шиной данных, которая обуславливает взаимодействие ионов.

Физическое требование, которому должна удовлетворять система, состоит в достижении предела Лэмба-Дике. Это означает, что каждый ион локализован в области много меньшей, чем длина волны используемого излучения. Типичные значения расстояний между ионами составляют единицы - десятки микрометров.

Задача о квантовых вычислениях на любой физической системы сводится к возможности построения одно- и двухкубитовых ЛЭ. Однокубитовые ЛЭ в системе “ион (атом) + поле” создать достаточно просто. Для этого существует техника переходов Раби, которая позволяет управлять внутренним состоянием кубита. Однокубитовые переходы и, следовательно, ЛЭ связаны только с вращением вектора состояния отдельного иона (вектора Блоха) без изменения его перемещения

Напоминание.

Вероятность перехода в двухуровневой системе под действием классического поля с частотой дается формулой Раби:

(21.0)

где - частота Раби, а -расстройка между частотой поля и боровской частотой (частотой перехода ). Этот результат получается по теории возмущений при условиях, когда амплитуды состояний малы, т.е. . (конец напоминания)

Обозначим атомные уровни, которые мы будем использовать для проведения вычислений, как . Также введем вспомогательный уровень . Структура уровней ионов показана на рис.3. В оригинальной работе частоты переходов и вырождены. Эти переходы возбуждаются излучением с разной поляризацией. Но удобнее рассматривать невырожденный режим, поскольку экспериментальные методы частотной селекции развиты лучше, чем поляризационный контроль. Также мы будем считать, что лазерное поле непосредственно находится в резонансе с соответствующими парами уровней (для простоты), хотя часто эти переходы дипольно запрещены и используется техника рамановского возбуждения на разностной частоте.

На рис.3 второй символ, обозначающий состояние, относится к колебательному движению центра масс (внешняя степень свободы), а первый - к внутренней степени свободы иона. Так, символы обозначают основное и возбужденные состояния колебаний ЦМ, которые не будут использоваться при вычислениях, но являются вспомогательными.

Вообще, связь между ЦМ иона и его внутренней энергией возникает из электро-дипольного взаимодействия:

(21.2)

(21.3)

Здесь А - оператор уничтожения фонона для моды ЦМ, а Е - напряженность поля.

Если лазер настроен на частоту , то в резонансе оказывается пара уровней и . Таким образом, осцилляции ЦМ при такой настройке не возникают. Гамильтониан, описывающий такое взаимодействие поля и вещества имеет вид:

(21.4а)

где - энергия перехода, а электромагнитное поле рассматривается классически, - частота Раби.

Если лазер настроен на частоту , то в резонансе оказывается пара уровней и . В этом случае гамильтониан, описывающий взаимодействие имеет вид:

(21.4б)

где N - число ионов, находящихся в ловушке, А - оператор уничтожения фонона в моде ЦМ, - параметр Лэмба-Дике, который равен

(21.5в)

Если же лазер настроен на частоту , то в резонансе оказывается пара уровней и

Прежде, чем двигаться дальше, нам нужно подробнее остановиться на модели взаимодействия поля с веществом.

Модель Джейнса-Каммингса.

Мы рассматриваем двухуровневую систему, которую будем представлять атомом, имеющего основное и возбужденное состояния. Атом взаимодействует с одной модой электромагнитного поля, например, в резонаторе. Гамильтониан системы имеет вид:

, (21.5)

(21.6)

Три члена в (5, 6) символично отражены на схемах переходов, показанных на рис.4. Будем полагать . Мы ввели т.н. мгновенную частоту Раби:

. (21.7)

Здесь d - оператор дипольного момента атома, а Е - амплитуда электрического поля. - фаза поля в центре атома. Заметим, что частота Раби - действительная величина. В модели предполагается, что частотная расстройка

(21.8)

мала, т.е.

(21.9)

а разность энергий для всех других атомных уровней удовлетворяет условию

(21.10)

В общем же будем считать, что частота Раби

(21.11)

Заметим, что в модели также используется приближение вращающейся волны, когда удерживаются только медленно меняющиеся члены при взаимодействии.

Рассмотрим оператор

, (21.12)

который коммутирует с гамильтонианом. Это означает, что гильбертово пространство состояний разделяется на два ортогональных подпространства.

Подпространство с собственным значением оператора S: s = 0, представляет основное состояние атома и отсутствие фотонов: .

(21.13)

Это состояние будем рассматривать как основное состояние системы.

Подпространство с охватывает состояния и . Отсюда, задача о решении уравнения Шредингера сводится к двумерной задаче.

В представлении взаимодействия

(21.14)

(21.15)

Тогда, возмущенная часть гамильтониана

, (21.16)

а волновая функция удовлетворяет уравнению

. (21.17)

Для , положим

. (21.18)

Из уравнения (17) можно найти коэффициенты c_gs и c_es.

Вкратце, рассмотрим решения.

Случай точного резонанса, :

(21.19)

Для собственные функции имеют вид перепутанных состояний атома и электромагнитного поля:

(21.20)

Другими словами, состояние системы описывается суперпозицией двух возможностей: атом в основном состоянии плюс фотон; атом в возбужденном состоянии, фотонов нет.

Матрица унитарного преобразования для подпространства имеет вид:

(21.21)

Рассмотрим случай одного фотона s =1. Для из (21) получаем:

. (21.22а)

Если фаза лазера равна то получаем преобразование

, (21.22б)

т.е. и

или, другими словами, состояние атома меняется на противоположное. Такой импульс поля называется - импульсом.

Если время взаимодействия равно, то матрица (21) становится

(21.22в)

для любых значений фазы поля!

Пусть теперь время взаимодействия атома и поля равно Матрица (21) принимает вид:

. (21.23)

Если в начальный момент состояние системы было , т.е. представляло собой факторизованное состояние поля и вещества, то после взаимодействия состояние принимает вид перепутанного:

(21.24)

Такое воздействие называется - импульсом.

Важным, для дальнейшего рассмотрения, является случай преобразования

(21.25)

Это частный случай - импульса, когда фаза электромагнитного поля в центре атома равна

Такое преобразование может быть реализовано несколькими способами и в различных системах. Однако в этой лекции мы ограничимся лишь случаем ионов в ловушке, на каждый из которых сфокусировано управляющее лазерное излучение. Заметим, лишь, что для системы, состоящей из атомов в резонаторе, импульсы поля прикладываются при пролете атома через микроволновой резонатор. В методе ядерного магнитного резонанса, прикладываются аналогичные импульсы магнитного поля.

Теперь мы можем приступить к моделированию ЛЭ CNOT, реализованному на основе любой пары ионов, имеющихся в ловушке.

Напомним, что этот двухкубитовый обратимый ЛЭ выполняет функцию:

(21.26)

Возьмем Запись (26), как обычно, означает, что состояние контрольного кубита сохраняется. А состояние кубита-мишени становится результатом сложения по модулю “2” значений контрольного кубита и кубита мишени.

Тогда искомая операция будет выражаться следующим набором преобразований:

(21.27)

где оператор - это введенный выше оператор R для иона 2:

а т.н. оператор “control sign flip” действует на ионы 1 и 2 по правилу:

(21.28)

Здесь слева выписаны все возможные комбинации состояний двух двухуровневых ионов 1 и 2, находящихся в основном колебательном состоянии моды ЦМ .

Рассмотрим, каким образом можно осуществить эти операции в рамках нашей системы.

Оператор R. Для выполнения этой операции мы подаем - импульс на ион 2 с помощью соответствующим образом сфазированного и настроенного по частоте лазера. Напомним, что в модели Джейнса-Каммингса этот оператор задается выражением (25).

Оператор CSF. Он задается действием операторов

(21.29)

Здесь - это - импульс, подаваемый на первый ион, с фазой , когда частота лазера настроена на переход (такая операция оставляет состояние иона 2 без изменения!) и приводит к следующим преобразованиям:

(21.30)

По-прежнему, символ р обозначает любое состояние (второго) иона.

Оператор описывает действие - импульса с фазой , когда частота лазера настроена на переход . При этом все состояния остаются без изменения, за исключением (см. 22в):

(21.31)

С учетом правил действия операторов (30, 31) получаем необходимые преобразования:

Мы получили в итоге результат, совпадающий с (28). Заметим, что конечным результатом эволюции будет перемена знака, но лишь в том случае, если оба иона находятся в возбужденном (внутреннем) состоянии . И до, и после логической операции CNOT мода ЦМ находится в вакуумном (невозбужденном) состоянии .

Операция чтения данных.

Наиболее распространенным методом регистрации внутреннего состояния ионов осуществляется в т.н. методе “размещения” электронов.

Эта процедура может быть выполнена при использовании какого-нибудь другого уровня и лазера, настроенного на частоту перехода между этим уровнем и основным состоянием . Если такой переход разрешен, то процесс будет сопровождаться резонансной флуоресценцией или рассеянием в случае, когда система находится в состоянии и не будет, когда система находится в состоянии . Представим себе, что основное состояние на некоторое время связывается с возбужденным , например, при действии - импульса. Тогда ион оказывается в состоянии суперпозиции . Если затем осуществить переход между двумя состояниями и (дипольно-разрешенный переход с малым временем жизни), то состояние возбудиться, а затем распадатся с испусканием фотона (спонтанное испускание). Это произойдет только, если система находилась в состоянии ! Таким образом, регистрация фотонов, испущенных в процессе такого распада и является косвенным признаком того, что система находилась в состоянии . Измерение таких фотонов будет происходить с вероятностью , поскольку это и есть вероятность найти систему в состоянии . Даже если эффективность детектирования фотона при единичном распаде очень мала (в эксперименте она составляет десятые доли процентов), то можно повторить возбуждение много раз и увеличить число “рассеянных” фотонов - тем самым будет однозначно зарегистрировано, что система находилась в состоянии . Если же система размещается в метастабильном состоянии , то фотоны излучаться не будут. После усреднения по многим экспериментам, количество испытаний, в которых наблюдались фотоны, окажется пропорциональным

Заметим, что реализация всего протокола вычислений на системе ионов в ловушке (мы рассмотрели лишь ЛЭ CNOT) крайне трудна. Лишь отдельные ее компоненты были продемонстрированы, а именно, колебательное движение ЦМ системы, состоящей из семи ионов (Инсбруг).

Лекция "1.2 Формационный подход к изучению истории" также может быть Вам полезна.

Заметим также, что для выделения двух сверх-узких уровней, работающих в качестве кубитов возможно несколькими путями. Доступ к этим уровням возможен непосредственно с помощью лазера, если переход лежит в оптическом диапазоне (резонансное возбуждение) или с помощью двух лазеров и т.н. рамановского перехода, когда в резонансе оказывается разностная частота (Рис. 5).

ЛИТЕРАТУРА

1. J.Сirac and P.Zoller. Quantum Computations with Cold Trapped Ions. Phys.Rev.Lett. 74, 4091 (1995).

2. П.В.Елютин. Теоретические основы квантовой радиофизики. Изд-во МГУ, 1982.

3. Д.Боумейстер, А.Экерт, А.Цайлингер. Физика квантовой информации. Москва, “Постмаркет”, 2002. - 376 с.

4. M.Rubin and / Lectures on Quantum Computations. UMBS, 1999 (unpublished).

Поделитесь ссылкой:

Популярные услуги

Холодные ионы в ловушках

Рекомендуемые материалы

Рекомендуемые лекции