Угловая скорость и угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Угловая скорость и угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

1. За весьма малый промежуток времени t угол поворота (или угловое перемещение) изменится на величину . Отношение  к называется средней угловой скоростью и обозначается  т. е.

Угловая скорость тела в данный момент характеризует скорость изменения во времени угла поворота и равна первой производной по времени от угла поворота:

или                                          

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду (. В тех­нике угловую скорость часто задают числом n оборотов в минуту (n об/мин). Тогда |

Рекомендуемые материалы

или

Если при вращении тела угловая скорость постоянна ( ), то вращение тела называется равномерным. Угол поворота  при этом изменяется пропорционально времени. Действительно,

Следовательно,

где  ₀ — начальный угол поворота. Уравнение (11.59) называется равнением равномерного вращения тела вокруг неподвижной оси. Следует заметить, что угловая скорость определяет также и на­правление вращения. Так, если  > 0, тело вращается в направлении возрастания угла поворота  и в противоположном направле­нии, если  < 0. Поэтому угловую скорость изображают скользя­щим вектором  направленным по оси вращения так, чтобы, смот­ря с конца этого вектора на его начало, видно было бы вращение тела против часовой стрелки. Указанное направление  считается положительным в правой системе координат, а в левой — наоборот. Модуль вектора  будет

2. Угловое ускорение тела характеризует скорость изменения угловой скорости во времени.

Угловое ускорение в данный момент равно первой производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота.

Угловое ускорение обозначают буквой . Пусть за промежуток времени  угловая скорость изменилась на  со, тогда получим

Переходя к пределу, найдем угловое ускорение тела в данный момент времени

Или

За единицу углового ускорения принимают радиан за секунду в квадрате (рад/с²). Угловое ускорение , также как и , изображают скользящим вектором, направленным по оси вращения. Действительно,  пред­ставляет собой вектор, направленный по касательной к годографу вектора . Годографом вектора ω является прямая, совпадающая с осью вращения . Поэтому  направлен по оси 0_z. Модуль вектора ε будет равен

.

Если ε>O^ одного знака с ω, то направление ε совпадает  с на­правлением ω (рис.   49)  и  вращение  тела  называется ускоренным.

Eсли ε < 0, а ω положительное, то направления ε и ω противоположны (рис. 49, б) и вращение тела называется замедленным.

Если ε = 0, то ω =0 и  ω=const,  т. е. тело вращается равномерно. При ε=const≠0,  вращение тела называется равнопеременным.

Если ε=const≠0, то ω=ε=const . После интегрирования получим 

ω=εt+C

Постоянную интегрирования С_г найдем из начальных условий движения. Например, если при t=0,ω=ω₀ , φ=φ_O, то С₁ =ω_O. Получим

ω=ω_O + εt.

 Но, в свою очередь,  ω=φ. Следовательно,

В лекции "Формирование научных концепций организации" также много полезной информации.

φ=ω_O + εt, dφ=ω_Odt+ εtdt.

 Интегрируя,   получим

φ=ω_O t+

Исходя из начальных условий движения, найдем С₂ = φ₀,