Постановка граничных условий в классической теории оболочек

Постановка граничных условий в классической теории оболочек

Если в уравнениях равновесия заменить усилия и моменты их выражениями через деформации и искривления срединной поверхности, а далее выразить их через перемещения, получится система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях, аналогичная системе уравнений Ламе в теории упругости.

Эта система будет иметь восьмой порядок по каждой из координат ξ и η – второй по переменным u и v и четвертый – по w. Интегрирование такой системы требует постановки 8 граничных условий для определения постоянных интегрирования.

С математической точки зрения это означает, что по каждой координате нужно поставить 8 условий. Формально все эти условия можно ставить при одном значении координаты, либо использовать разные сочетания в двух точках (1 + 7, 2 + 6, 3 + 5 и т.д.). Однако такой формализм невозможно обеспечить из физических соображений, поэтому обычно в двух точках ставятся по 4 условия.

С механической точки зрения это соответствует тому, что положение любой точки оболочки (а не только точек срединой поверхности) в соответствии с гипотезой прямых нормалей определяется четырьмя параметрами: три из них определяют смещение точки срединной поверхности, а последний – поворот нормали. Например, это могут быть величины  или .

Если задать эти величины, задача расчета параметров НДС оболочки решается однозначно. В этом случае говорят, что граничные условия заданы в перемещениях.

В теории упругости известны три способа задания граничных условий – в перемещениях, в напряжениях и в смешанной форме. Аналогично обстоит дело и в теории оболочек.

Однако на линии, например, ξ = const, можно задать 5 силовых величин:

Это приводит к тому, что формально возникает задача, называемая переопределенной – число заданных условий больше числа неизвестных, подлежащих определению.

Рекомендуемые материалы

Для снятия этого противоречия Кирхгофф предложил следующий способ.

Рассмотрим сечение оболочки «с торца», в котором точки С₁, С₂, С₃ находятся на расстояниях dS₂ друг от друга. На участке С₁ С₂ действует крутящий момент  М₁₂, на участке С₂ С₃ момент М₁₂ + ∂М₁₂/∂s₂×ds₂. И тот, и другой моменты представим парами сил, приложенных к соответствующим участкам оболочки.

Рекомендуем посмотреть лекцию "Рост и развитие детей и подростков".

В общем случае в точке С₂ возникают две силы, которые за счет кривизны оболочки действуют не вдоль одной прямой, и их сумма дает вклад в сдвигающее усилие, показанный на рисунке как N₁₂. Кроме того, в разных точках оболочки моменты отличаются, тогда и силы, входящие в пары, будут разными. В итоге возникает проекция суммы сил на нормаль к срединной поверхности, и эта часть будет добавкой к перерезывающей силе Q₁.

Таким образом, представляя в каждой точке контура оболочки крутящий момент парой сил, можно силы, входящие в пары, разложить на составляющие в каждой точке, и прибавить к сдвиговому усилию и к перерезывающей силе. Крутящий момент тогда как отдельная величина уже не будет задаваться, и останется четыре силовых величины:

Если край оболочки свободен, все эти силовые величины равны нулю.

Когда часть условий задана в перемещениях, а другая – в силовых величинах, необходимо, чтобы эти условия были «разнесены» - нельзя задавать в одном направлении действующие перемещения и силовые факторы. Если это правило не соблюдать, получатся либо противоречащие друг другу условия, либо дублирующие.