Физические соотношения для изотропных оболочек. Полная система уравнений теории оболочек
Физические соотношения для изотропных оболочек. Полная система уравнений теории оболочек
В соответствии со статической гипотезой теории оболочек в оболочке реализуется плоское напряженное состояние, для которого соотношения теории упругости имеют вид
Для такого напряженного состояния остальные компоненты тензора напряжений равны нулю.
Усилия и моменты после подстановки этих выражений принимают вид
Здесь 
линейная, 
цилиндрическая жесткость.
Как видно, усилия в этих выражениях связаны только с деформациями, а моменты – только с искривлениями (кривизнами). Взаимного влияния в этом случае нет. Говорят, что напряженное и деформированное состояния разделились на так называемую мембранную часть и моментную составляющую. Происхождение термина мембранное напряженное состояние связано с тем пониманием, что мембраной называется очень тонкая пластина, в которой «по определению» не может возникнуть больших моментных напряжений, а нагрузку мембрана несет исключительно за счет растягивающих напряжений.
Однако при более сложных зависимостях между напряжениями и деформациями, например, при использовании соотношений теории малых упругопластических деформаций Ильюшина, обнаруживается связь усилий как с деформациями, так и с искривлениями. Такая же связь возникает и у моментов с деформациями и искривлениями.
Рекомендуемые материалы
Например, в плоской теории упругости (плоское напряженное состояние) соотношения теории малых упругопластических деформаций Ильюшина связывают напряжения и деформации в виде
и т.д., тогда усилия будут
и т.д.
Полная система уравнений теории оболочек включает в себя:
- выражения деформаций и искривлений через перемещения - 6 - уравнения равновесия (последнее из них тождество и не засчитывается) - 5 - физические соотношения, приведенные выше - 8
Что касается уравнений совместности, они в основную систему не входят, так как являются следствием геометрических соотношений.
Таким образом, общее число уравнений теории классической оболочек равно 19.
Неизвестными в теории оболочек являются:
- перемещения - 3
- усилия - 4
- моменты - 4
- перерезывающие силы - 2
Лекция "Особенности управленческого труда" также может быть Вам полезна.
- компоненты деформаций - 3
- компоненты искривлений - 3
Число неизвестных 19, оно равно числу уравнений. Это означает, что полученная система уравнений замкнута.
На первый взгляд, налицо известное противоречие.
Исходная система уравнений теории упругости содержит 15 неизвестных (три компоненты вектора перемещений и по 6 компонент тензоров деформаций и напряжений) и состоит из 15 соотношений (три уравнения равновесия, 6 соотношений закона Гука и 6 геометрических соотношений Коши).
Полученная в результате упрощений система теории оболочек формально сложнее – она содержит большее число неизвестных и уравнений. Суть упрощений заключается в том, что все неизвестные в теории оболочек зависят лишь от двух пространственных переменных, координат точек срединной поверхности. В теории упругости все величины зависят в общем случае от трех пространственных переменных.
