Деформация оболочки и ее срединной поверхности

Деформация оболочки и ее срединной поверхности

         При исследовании малых (линейных) деформаций исходим из общих линейных соотношений теории упругости, записанных в криволинейных координатах.

         Длины дуг вдоль координатных линий

       (1)

         Здесь Н_i – параметры Ламе, по своему смыслу аналоги коэффициентов первой квадратичной формы поверхности.

         Далее считаем систему координат ортогональной. Тогда квадрат длины произвольного линейного элемента – своего рода «первая квадратичная форма» для пространственного случая – будет

             (2)

         Далее направим оси вдоль срединной поверхности, а ось по нормали к ней. Рассмотрим элемент срединной поверхности, содержащий дуги  Пусть С₁ и  С₂ – центры кривизны этих дуг в плоскости срединной поверхности, перпендикулярной   Соответствующие радиусы кривизны обозначим  При изменении координаты  на величину  изменится и длина соответствующей дуги, и ее новое значение будет

Рекомендуемые материалы

         При постоянстве  необходимо

Отсюда определяется кривизна дуги

             (3)

и по аналогии

                (4)

         Обозначим смещения точки М вдоль осей  соответственно как  Определим происшедшие за счет этих смещений изменения длин дуг  и углов между ними – эти изменения и определяют деформации.

         Деформация удлинения дуги будет

                       (5)

Первое слагаемое здесь связано с изменением перемещений при переходе от точки М к точке N, отстоящей от нее на расстоянии . Второе слагаемое связано  со смещением всей дуги на величину вдоль радиуса . Аналогичный смысл у третьего слагаемого.

         С учетом (3), (4) соотношение (5) принимает вид

                (6)

         Рассмотрим теперь деформации сдвига. Она определяется изменением первоначально прямого угла между касательными к линиям . Это изменение определяется соотношением

                 (7)

         Положительный знак отвечает уменьшению первоначально прямого угла. Первые два слагаемых связаны с отличиями в смещениях точки М и соседних точек, лежащих на расстояниях  от нее. Третье слагаемое появляется за счет смещения всей дуги на величину v, при этом угол между  увеличится. Аналогичный смысл у последнего слагаемого. Учитывая (3) и (4), можем (7) переписать в виде, аналогичном (6).

Окончательно все линейные деформации можно записать в виде

               (9)

а угловые деформации

                    (10)

         Все полученные зависимости справедливы при малых перемещениях.

         Далее принимаем, что линии  направлены вдоль линий кривизны срединной поверхности, а т.к. эти координатные линии ортогональны, то коэффициент первой квадратичной формы а₁₂ = 0. Дл ненулевых коэффициентов введем обозначения  тогда величины  будут эквивалентны коэффициентам Ламе. Направление третьей оси совместим с нормалью к поверхности и далее считаем

         Обозначим  - радиусы кривизны нормальных сечений срединной поверхности оболочки вдоль линий  

         Тогда для слоя оболочки, отстоящего на расстоянии z от срединной поверхности, длины дуг будут пропорциональны их расстояниям от центра кривизны, и

                    (11)

причем z > 0 при направлении к центру кривизны для эллиптических и параболических оболочек. Производные от этих коэффициентов по z будут

                    (12)

Далее принимаем тогда (12) справедливы для любой точки z.

         По гипотезе прямых нормалей необходимо  Тогда из (10) при  получим

                       (13)

Из прямолинейности элемента (второй части той же гипотезы прямых нормалей) следует

            (14)

Принимая в (13) z = 0 и учитывая (12), получим

            (15)

Сравнивая (14) и (15), находим

        (16)

         Обозначим далее деформации удлинения вдоль линий кривизны через а деформацию сдвига . Тогда для любого z из (9), (10) при  получаем

              (17)

         С учетом (16) это можно записать в виде

             (18)

Здесь

             (19)

 деформации срединной поверхности. Величины

                   (20)

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 5 Геометрическая интерпретация метода простых итераций.

представляют собой не что иное, как искривления и деформации кручения срединной поверхности.

         В простейшем случае пластинки, когда эти параметры упрощаются:

Таким образом, деформации срединной поверхности определяются шестью параметрами  Это вполне согласуется с тем, что исходная и деформированная поверхности полностью определяются своими квадратичными – первой и второй – формами, а каждая из них содержит по три коэффициента.

Эти шесть величин выражаются через три перемещения, поэтому они не могут быть независимыми. Соответствующие уравнения, выражающие эти зависимости, называются уравнениями совместности, и число их равно трем. В общем случае выражения для параметров деформации (19) и (20) достаточно громоздки, но в частных случаях, как это показано для пластинки, например, они сильно упрощаются. Один из вариантов упрощения связан с использованием достаточно естественного для оболочек предположения, что перемещения в срединной поверхности много меньше, чем прогибы: