Приведение системы сил к заданному центру. Условия равновесия

Лекция 5

Краткое содержание:  Приведение силы к заданному центру.  Приведение системы сил к заданному центру.  Условия равновесия пространственной системы  параллельных сил.  Условия равновесия плоской системы сил.  Теорема о трех моментах.  Статически определимые и статически неопределимые задачи.  Равновесие системы тел.

ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ.  УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

Приведение силы к заданному центру.

Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить  и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку.

Теорема о параллельном переносе силы. Силу, приложенную к абсолютно  твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Пусть сила    приложена в точке  A. Действие этой силы не изменяется, если в точке B приложить две уравновешенные силы.   Полученная система трех сил представляет собой силу   равную   , но приложенную в точке В и пару   с моментом   . Процесс замены силы  силой  и парой сил  называется приведением силы   к заданному центру  В .

Приведение системы сил к заданному центру.

Рекомендуемые материалы

Основная теорема статики (Пуансо).

Любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Этот процесс замены системы сил одной силой и одной парой сил называется приведением системы сил к заданному центру.

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Формулы для вычисления главного вектора и главного момента

Формулы для вычисления модуля и направляющих косинусов

главного вектора и главного момента

Условия равновесия системы сил.

Векторная форма .

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю.

Алгебраическая форма.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

Условия равновесия пространственной системы

параллельных сил.

На тело действует  система параллельных сил. Расположим ось Oz  параллельно силам.

Уравнения                

Для равновесия пространственной системы параллельных сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил была равна нулю и суммы моментов этих сил относительно двух координатных осей, перпендикулярным силам, также были равны нулю.

  -  проекция силы на ось Oz.

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.

Условия равновесия плоской системы сил.

На тело действует плоская система сил. Расположим оси Ox  и  Oy  в плоскости действия сил.

Уравнения                   

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма моментов этих сил относительно любой точки, находящейся  в плоскости действия сил также была равна нулю.

Теорема о трех моментах.

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных  в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой,  были равны нулю.

Статически определимые и статически неопределимые задачи.

Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных.

В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных.

Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия  для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называются статически определимыми.

В противном случае задачи статически неопределимы.

Равновесие системы тел.

Рассмотрим равновесие сил, приложенных к системе взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарниров или иным способом.

Силы, действующие на рассматриваемую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, с которыми на тела рассматриваемой системы действуют тела, не входящие в эту систему сил.

Внутренними называются силы взаимодействия между телами рассматриваемой системы.

При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему тел на отдельные твердые тела и к силам, действующим на эти тела, применить условия равновесия, полученные для одного тела. В эти условия равновесия войдут как внешние, так и внутренние силы системы тел. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке сочленения двух тел образуют равновесную систему сил. 

Покажем это на примере системы двух тел и плоской системы сил.

Если составить условия равновесия для каждого твердого тела системы тел, то для тела  I           

.

для тела  II   

Бесплатная лекция: "72 Исследования ментальностей" также доступна.

Кроме того, из аксиомы о равенстве сил действия и противодействия для двух взаимодействующих тел имеем      .

Представленные равенства и есть условия равновесия внешних сил, действующих на систему.

Реакция заделки.

Рассмотрим балку один конец которой  АВ  заделан в стену.  Такое крепление конца балки  АВ  называется заделкой в точке В.  Пусть на балку действует плоская система сил.  Определим силы, которые надо приложить к точке В балки, если часть балки АВ отбросить. К сечению балки (В) приложены распределенные силы реакции. Если эти силы заменить элементарными сосредоточенными силами и затем привести их к точке  В, то в точке  В  получим силу    (главный вектор сил реакции) и пару сил с моментом  М (главный вектор сил реакции относительно точки В) .   Момент  М  называют моментом заделки  или рективным моментом.  Силу  реакции  можно заменить двумя составляющими    и  .

Заделка в отличие от шарнира создает не только неизвестную по величине и направлению реакцию   , но еще и пару сил с неизвестным моментом  М в заделке.