Вспомогательная таблица метода перемещений
4.2 Вспомогательная таблица метода перемещений
Как было показано в предыдущем параграфе, при расчете методом перемещений исходная система путем введения дополнительных связей расчленяется на ряд однопролетных статически неопределимых балок. Очевидно, что характер нагружения таких балок и способы закрепления их концов дают определенный, постоянный "набор" возможных вариантов, к определенной совокупности которых приводит расчетная схема любой заданной системы. Поэтому целесообразно заранее рассчитать однопролетные статически неопределимые балки при разных нагрузках и использовать эти результаты по мере необходимости. Обычно такой "набор" возможных вариантов представляется в табличной форме.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих результаты, указанных в тех или иных строках приведенной таблицы.
1. Загружение сосредоточенной силой F однопролетной балки с жестким защемлением на одном конце и шарнирно подвижным опиранием на другом (строка 1 вспомогательной таблицы).
Для решения задачи используем метод сил. Эквивалентная система, единичная и грузовая эпюры для заданной схемы (рис.51,а) представлены на рис.51,б,в,г.
Рис. 51
Каноническое уравнение метода сил:
Рекомендуемые материалы
Коэффициенты канонических уравнений вычислим по способу Верещагина:
Вспомогательная таблица метода перемещений.
№ | Схема балки и воздействия на нее | Эпюра моментов и реакции |
1 | ; | |
2 | ; ; | |
3 | ; | |
4 | ; | |
5 | Неравномерный нагрев
|
h – высота сечения |
№ | Схема балки и воздействия на нее | Эпюра моментов и реакции |
6 |
| |
7 |
| |
8 |
| |
9 |
| |
10 | Неравномерный нагрев
| h – высота сечения |
Отметим, что при указанных условиях закрепления концов балки коэффициент не зависит от характера внешнего воздействия.
Так как и, следовательно, то
Подставляя и в каноническое уравнение, находим:
Тогда реакции левой опоры и опорный момент будут:
Окончательная эпюра моментов для заданной, теперь уже статически определимой, системы, загруженной силами F и X1 (рис.51,д), показана на рис.51,е.
2. Загружение равномерно распределенной нагрузкой q (рис.52,а) однопролетной статически неопределимой балки (строка 2 вспомогательной таблицы).
Для решения вновь используем метод сил. Эпюра моментов от внешней нагрузки, приложенной к основной системе, показана на рис.52,б, а единичная эпюра моментов (и, соответственно, перемещение ) совпадает с построенной в предыдущем примере (рис.51,в).
Уравнение метода сил:
Рис. 52
Здесь при вычислении использованы эпюры (рис.51,в) и (рис.52,б).
Реакция лишней связи:
X1
Реакция левой опоры:
Опорный момент в левой опоре получим, просуммировав момент в этом сечении от нагрузки q с моментом от X1:
Направление опорных реакций и момента в заделке показаны на рис.52,в, а окончательная эпюра моментов – на рис.52,г.
3. Перемещение заделки на величину D по направлению перпендикулярному оси стержня (рис.53,а).
Эпюра изгибающих моментов в основной системе от смещения D будет нулевой, поэтому нулевым будет свободный член уравнения метода сил.
А перемещение по направлению Х1 (рис.53,б) будет:
D1D=D,
и уравнение метода сил принимает вид:
где то же, что и ранее.
Отсюда последовательно находим реакции и опорный момент :
Вместе с этой лекцией читают "Промышленность".
Направление этих величин показаны на рис.53,в, а окончательная эпюра моментов на рис.53,г.
При единичном смещении D=1 все вычисленные величины принимают значения, указанные в строке 4 вспомогательной таблицы метода перемещений.
Аналогичным образом можно рассчитать однопролетную балку на другие виды воздействий. Предоставив читателю возможность самостоятельно проделать соответствующие расчеты, отметим только, что при рассмотрении балки с двумя защемленными концами (строки 6 – 10 вспомогательной таблицы метода перемещений) целесообразно выбирать основную систему, разрезая балку посредине пролета. Такой разрез, как известно, приводит к появлению трех лишних неизвестных в методе сил – продольной и поперечной сил, а также изгибающего момента. Однако при всех рассматриваемых видах воздействий (вертикальные нагрузки, линейные смещения заделок по нормали к оси балки, поворот заделок) продольная сила будет равна нулю, поэтому решение всех задач приводит к системе двух канонических уравнений метода сил.
Рис. 53