Определение главных площадок и главных напряжений

1.5 Определение главных площадок и главных напряжений

На практике приходится часто решать задачу определения главных напряжений и положения главных площадок, если известны нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.

Рассмотрим пример. Пусть на взаимно перпендикулярных площадках действуют нормальные напряжения  и , и касательные  (см. рис. 1.12 а). Согласно закону парности касательных напряжений они должны быть равны на всех гранях. Из элемента вырежем призму (см. рис. 1.12 б) и рассмотрим ее равновесие.

Длины сторон составляют dx и dy, наклонной площадки ds, толщину примем равной 1. Составим уравнения статического равновесия относительно осей U и V.

;

.

Рисунок 1.12

Рекомендуемые материалы

Так как dx = ds cos, dy = ds sin, подставим их значения и упростим:

;

                      (1.9)

;

;

             (1.10)

В случае, если площадка главная при , на ней  и из формулы (1.9) получим:

;

;

                                  (1.11)

По формуле (1.11) можно определить одну из главных площадок. Вторая площадка перпендикулярна ей, следовательно будет расположена под углом .

Формулу (1.10) несколько преобразуем, заменим:

 и ;

;

    (1.12)

Для определения значений главных напряжений, нужно вместо  подставить , заменив:

и

.

Вместо  подставим его значение из формулы (1.11):

Упростив, получим окончательную формулу:

                  (1.13)

Для одного главного напряжения берется знак «плюс» перед корнем, для другого — «минус».

Вывод формул для определения главных напряжений и главных площадок проще сделать, используя круг Мора (см. рис. 1.10) и рассматривая  как , а  как .

;                                (1.14)

где r — радиус круга;

;                     (1.15)

.

Подставив значения r и OC в формулу (1.14), получим формулу (1.13).

Из треугольника CDE находим

;

где , .

Подставив значения  и , получим формулу (1.11).

Положение главной площадки, где действует  определяют по направлению касательных напряжений. Их проекции на нормаль направлены от площадки (растяжение). Для  проекции касательных напряжений направлены к площадке (сжатие).

Значение угла  можно также определить не только по формуле (1.11). Рассмотрим треугольник BDE

,

где ;  при .

Получим

.

Наибольшие касательные напряжения равны радиусу r и согласно формуле (1.15)

.

Вам также может быть полезна лекция "Зооантропонозы и их профилактика".

Контрольные вопросы

1. По какой формуле определяют положение главной площадки?

2. По какой формуле находят значения главных напряжений?

3. Как с помощью круга Мора определить значения главных напряжений?

4. Как по кругу Мора определить положение главных площадок?