Определение главных площадок и главных напряжений
1.5 Определение главных площадок и главных напряжений
На практике приходится часто решать задачу определения главных напряжений и положения главных площадок, если известны нормальные и касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках.
Рассмотрим пример. Пусть на взаимно перпендикулярных площадках действуют нормальные напряжения 
и 
, и касательные 
(см. рис. 1.12 а). Согласно закону парности касательных напряжений они должны быть равны на всех гранях. Из элемента вырежем призму (см. рис. 1.12 б) и рассмотрим ее равновесие.
Длины сторон составляют dx и dy, наклонной площадки ds, толщину примем равной 1. Составим уравнения статического равновесия относительно осей U и V.
;
.
Рисунок 1.12
Рекомендуемые материалы
Так как dx = ds cos
, dy = ds sin, подставим их значения и упростим:
;
(1.9)
;
;
(1.10)
В случае, если площадка главная при 
, на ней 
и из формулы (1.9) получим:
;
;
(1.11)
По формуле (1.11) можно определить одну из главных площадок. Вторая площадка перпендикулярна ей, следовательно будет расположена под углом 
.
Формулу (1.10) несколько преобразуем, заменим:
и 
;
;
(1.12)
Для определения значений главных напряжений, нужно вместо подставить 
, заменив:
и 
.
Вместо 
подставим его значение из формулы (1.11):
Упростив, получим окончательную формулу:
(1.13)
Для одного главного напряжения берется знак «плюс» перед корнем, для другого — «минус».
Вывод формул для определения главных напряжений и главных площадок проще сделать, используя круг Мора (см. рис. 1.10) и рассматривая 
как , а 
как .
; (1.14)
где r — радиус круга;
; (1.15)
.
Подставив значения r и OC в формулу (1.14), получим формулу (1.13).
Из треугольника CDE находим
;
где 
, 
.
Подставив значения 
и 
, получим формулу (1.11).
Положение главной площадки, где действует 
определяют по направлению касательных напряжений. Их проекции на нормаль направлены от площадки (растяжение). Для 
проекции касательных напряжений направлены к площадке (сжатие).
Значение угла можно также определить не только по формуле (1.11). Рассмотрим треугольник BDE
,
где 
; 
при 
.
Получим
.
Наибольшие касательные напряжения равны радиусу r и согласно формуле (1.15)
.
Вам также может быть полезна лекция "Зооантропонозы и их профилактика".
Контрольные вопросы
1. По какой формуле определяют положение главной площадки?
2. По какой формуле находят значения главных напряжений?
3. Как с помощью круга Мора определить значения главных напряжений?
4. Как по кругу Мора определить положение главных площадок?
