Управление производством

7.Лекция . Управление производством . Управление запасами.

           

      С течением времени любое оборудование изнашивается физически и морально, поэтому на каком-то этапе его эксплуатация становится менее выгодной, нежели приобретение и использование нового оборудования.

      Поэтому возникает задача наиболее подходящего момента замены оборудования.

                                    7. 1    Задача о замене оборудования.

Рассмотрим задачу о замене оборудования на следующем

ПРИМЕРЕ:

      В начале планового периода продолжительностью  N = 4 года имеется оборудование, возраст которого t, причем оборудование не должно быть старше 6 лет (примем t = 2 года).

Рекомендуемые материалы

           ИЗВЕСТНЫ:

  - r(t) - стоимость продукции, произведенной в течение каждого года планового периода с помощью этого оборудования;

  - U(t) - ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования (эти характеристики зависят от возраста оборудования;

  - s - остаточная стоимость оборудования (принимаем  s = 4 д.ед.), не зависящая от его возраста;

  - р - стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном плановом периоде (р = 13 д.ед.)

           ТРЕБУЕТСЯ:

     Разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, т.е. на начало каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.

      1. Составить матрицу максимальных прибылей F_n(t) за 4 года;

      2. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования возрастов t₁ и t₂ лет в плановом периоде, продолжительностью 4 и 3 года.         

     Таблица соответствия стоимости продукции и затрат от возраста

 

 РЕШЕНИЕ:

Математическая модель задачи:

  Z = ΣF_i(x_i)→max

                                   сохранить

  x_i  - управление  

                                        заменить

      Экономический смысл переменных:

  N  - плановый период эксплуатации оборудования;

  Z_C  - прибыль в случае сохранения оборудования;

  Z_З  -  прибыль в случае замены оборудования;  

  S₀ - первоначальное состояние системы;

  S^H_i - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;

  S_i - возраст в конце i-го периода;

  r(t) - прибыль от эксплуатации;

  u(t) - расходы на эксплуатацию;

  s - остаточная стоимость оборудования;

  p - стоимость нового оборудования;

  t - возраст оборудования;

  f_i - доход на i-ом шаге;

  F_i - максимальный доход на i-ом шаге.

      Прибыль, если в начале года выбрано управление «сохранение» оборудования:

  Z_c = r(t) - u(t)

      Прибыль в случае «замены»:

  Z_З  = s - p + r(0) - u(0)

      Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования

t = 0, 1, …. Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.

      В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начале данного года.

      Основное функциональное уравнение на последнем N-ом шаге:

  F_N(S_N-1, x_N) = max Z_N(S_N-1, x_N)

      При произвольном шаге (i<N) основное функциональное уравнение принимает вид

  F_i(S_i-1, x_N) = max {Z_i(S^H_i, x_i) + F_i+1(S_i)}

      Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей парой формул:

 - при управлении «сохранение»

  F_i(S^H_i, x_i) = r(S_i, x_i) - u(S^H_i)

  - при управлении «замена»

  Z_i(S^H_i, x_i) = s - p + r(0) - u(0)

      Для нашего примера расчет начинается с последнего, четвертого года планового периода:

  F₄(S₃, x₄) = max Z₄(S^H₃, x₄)

  при этом:

  - в случае «сохранения» оборудования:

  Z₄(S^H₄, x₄) = r(S^H₄) - u(S^H₄)

  - в случае «замены»:

  Z₄(S^H₄, x₄)  = 4 - 13 + 27 - 15 = 3

      Составляется 1-ая таблица, рассматриваемая все возможные НАЧАЛЬНЫЕ состояния оборудования, т.е. его возраст S₃ = 1 - 6 лет, начиная с конца - последнего шага.

Таблица 1.        F₄(S₃, x₄) = max Z₄(S^H₃, x₄)                                      

                                                                                                                 Шаг 4

      Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.

      Теперь анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого периода.

  F₃(S₂, x₄) = max {Z₃(S^H₃, x₃) + F₄(S₃)}

  при этом:

  - в случае «сохранения оборудования»

  Z₃(S^H₃, x₃) = r(S^H₃) - u(S^H₃)

  - в случае «замены»

  Z₃(S^H₃, x₃) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3

      Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за двухлетний период).

      Оптимальная прибыль за 4-ый год берется из таблицы 1.

      Учтем, что      S^H₂ - возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его «сохранении» или «замене»;

                           S₃ - возраст оборудования к концу третьего года.

      Данные в колонку F₄ переносятся из предыдущей таблице в соответствии со значением параметра S₃.

 Таблица 2.  F₃(S₂, x₄) = max {Z₃(S^H₃, x₃) + F₄(S₃)}                            Шаг 3

  Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и составляется таблица 3.

    Таблица 3.  F₂ (S_1,x₄) = max {Z₂(S^H₂, x₂) + F₃(S₂)}                         Шаг 2  

                   

      Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1) и составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.

  

Таблица 4.  F₁ (S_0, x₄) = max {Z₁(S^H₁, x₁) + F₂(S₁)}                         Шаг 1

      С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение 4-х летнего периода.

      Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех последних построенных таблиц, оформляются в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделяются элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управления «ЗАМЕНА».

Элементы, расположенные выше линии выделения, находятся в области «СОХРАНЕНИЯ» оборудования.

Матрица максимальных прибылей

      Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года.

       В матрице прибылей для  t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль 34 д.ед. за четыре года, при этом выбор управления «СОХРАНЕНИЕ».

      К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке выбирается строка, соответствующая возрасту 3 года.

       Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы - 24 д.ед., и мы находимся в области «ЗАМЕНЫ» оборудования, следовательно, к началу 3-го года оборудование будет иметь возраст 1 год.

       Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна

21 д.ед., за последний четвертый год - 10 д.ед. (при возрасте t = 2).

      ВЫВОД: рекомендуется замена оборудования в начале 2-го года 

                        эксплуатации.

7. 2  Управление  запасами. Складская задача.

Складская задача относится к динамическим детерминированным задачам управления запасами. Следовательно, для решения этой задачи можно применить принцип Беллмана.

                      Рассмотрим задачу.

      Планируется деятельность предприятия на три месяца.

ЗАДАНЫ:

  - начальный уровень запасов S₀ = 20

  - остаток запасов S₃ = 0

  - затраты на пополнение φ(x) = 0.4x

  - затраты на хранение ψ(y) = 0.2y + 1 в данном периоде в зависимости

     от  y - среднего уровня хранимых запасов.

ОПРЕДЕЛИТЬ:

  - размеры пополнения запасов в каждом месяце для удовлетворения заданного расхода d₁ = 30, d₂ = 20, d₃ = 30 из условий минимизации суммарных затрат.

                Используются формулы Уилсона:

  Средний уровень хранения  y_k = d_k/2 + S_k

  Уравнение состояния  S_k = S_k-1 + x_k - d_k

       Решение:

Задача относится к динамическому программированию и решается с применением принципа Беллмана.  

     1 этап - от конца к началу проводим условную оптимизацию.

     

Третий месяц

      Второй месяц

  Первый месяц

      

"2 Предмет теории принятия решений" - тут тоже много полезного для Вас.

2 этап – проводим безусловную оптимизацию (анализ решения) :

     

      x₁ = 10  S₁ = 0  y₁ = 15  φ(x₁) = 4     ψ(y₁) = 4

      x₂ = 20  S₂ = 0  y₂ = 10  φ(x₂) = 8     ψ(y₂) = 3

      x₃ = 30  S₃ = 0  y₃ = 15  φ(x₃) = 12   ψ(y₃) = 4

      Выгодно каждый год докупать ровно столько, чтобы хватило на текущий год.