Игровые модели

ЛЕКЦИЯ 10

ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ

Предмет и задачи теории игр. Основные понятия и определения. Платежная матрица. Седловая точка. Решение матричной игры в чистых стратегиях. Решение матричной игры в смешанных стратегиях. Доминирование. Решение игры 2´2. Решение игр  m´2 и 2´n. Сведение матричной игры к задаче ЛП.

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (участников, групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими и наиболее наглядными примерами таких ситуаций являются спортивные игры, арбитражные споры, военные учения (маневры), борьба между блоками избирателей за своих кандидатов, в международных отношениях - отстаивание интересов своего государства и т. п. Здесь каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Все ситуации, когда эффективность действия одного из участников зависит от действий других, можно разбить на два типа: интересы участников совпадают, и они могут договориться о совместных действиях; интересы участников не совпадают. В этих случаях может оказаться невыгодным сообщать другим участникам свои решения, так как кто-нибудь из них сможет воспользоваться знанием чужих решений и получит больший выигрыш за счет других участников. Ситуации такого типа называются конфликтными.

Для указанных ситуаций характерно, что эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, существенно зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не может полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности. Так, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. В реальных условиях нередко возникают ситуации, в которых антагонизм отсутствует, но существуют противоположные тенденции. Например, для нормального функционирования производства, с одной стороны, необходимо наличие запасов разнообразных ресурсов, но с другой - стремление к чрезвычайному увеличению этих запасов вызывает дополнительные затраты по их содержанию и хранению. В приведенных примерах конфликтные ситуации возникают в результате сознательной деятельности людей. Однако на практике встречаются неопределенности, которые порождаются не сознательным противодействием другой стороны, а недостаточной информированностью об условиях проведения планируемой операции.

Раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей, называется теорией игр. Таким образом, теория игр — это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации, т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования дефицитных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

Необходимо подчеркнуть, что методы и рекомендации теории игр разрабатываются применительно к таким специфическим конфликтным ситуациям, которые обладают свойством многократной повторяемости. Если конфликтная ситуация реализуется однократно или ограниченное число раз, то рекомендации теории игр теряют смысл.

Рекомендуемые материалы

Чтобы проанализировать конфликтную ситуацию по ее математической модели, ситуацию необходимо упростить, учтя лишь важнейшие факторы, существенно влияющие на ход конфликта.

Игрой называется упрощенная математическая модель конфликтной ситуации, отличающаяся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам.

Игра — это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры. Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший исход. Исход игры — это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться либо аналитически выражением, либо таблично. В дальнейшем будем рассматривать только такие игры, в которых выигрыш выражается количественно: стоимостью, баллами и т. д.

Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроком.

Стратегией игрока называется совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении  игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основное предположение, исходя из которого находят оптимальные стратегии, состоит в том, что противник по меньшей мере так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели.

Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным или бесконечным, в зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Всякая игра состоит из отдельных партий.

Партией называется каждый вариант реализации игры определенным образом.

В свою очередь, в партии игроки совершают конкретные ходы.

Ходом называется выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения.

Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок самостоятельно и осознанно выбирает и реализует ту или иную чистую стратегию. Например, в шахматах каждый ход является личным. При случайном ходе выбор чистой стратегии производится с использованием какого-либо механизма случайного выбора, например с применением таблицы случайных чисел.

Конфликтные ситуации, встречающиеся в практике, порождают различные виды игр. Классифицировать игры можно по разным признакам. Различают, например, игры по количеству игроков. В игре может участвовать любое конечное число игроков.

Если в игре игроки объединяются в две группы, преследующие противоположные цели, то такая игра называется игрой двух лиц (парная игра).

В зависимости от количества стратегий в игре они делятся на конечные или бесконечные. В зависимости от взаимоотношений участников различают игры бескоалиционные (участники не имеют права заключать соглашения), или некооперативные, и коалиционные, или кооперативные. По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой.

Игрой с нулевой суммой называется игра, в которой общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи с чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш).

В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при проведении лотереи часть взноса участников идет организатору лотереи.

Матричной игрой (при двух участниках) называется игра, в которой выигрыши первого игрока (проигрыши второго игрока) задаются матрицей.

В биматричных играх выигрыши каждого  игрока задаются своей матрицей. Другие типы таких игр различаются видом аналитического выражения платежной функции. По количеству ходов игры делятся на одноходовые  (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов). Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др. В зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией.

В реальных конфликтных ситуациях  каждый из игроков сознательно стремится найти наилучшее для себя поведение, имея общее представление о множестве допустимых для партнера ответных действий, но не ведая о том, какое же конкретное решение будет выбрано им в данный момент. В этом проявляется в равной мере неопределенность ситуации для каждого из партнеров.

Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результата, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называются стратегическими.

Однако в экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином "природа" всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют иногда статистиком, а соответствующую игру - статистической) приходится принимать решение. Например, выбор агрономической службой сельскохозяйственного предприятия участков для посева той или иной культуры в надежде получить в предстоящем году наилучший урожай; определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды и т. п. Здесь в качестве второго игрока выступает: в первом примере - в буквальном смысле природа; во втором - уровень спроса; в третьем - размеры ожидаемой прибыли.

В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает: если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то в статистических играх "природа", будучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, может предпринимать и такие ответные действия (будем говорить: реализовывать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).

Решение матричной игры в чистых стратегиях

Рассмотрим простейшую математическую модель конечной конфликтной ситуации, в которой имеется два участника и выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая модель называется антагонистической игрой двух лиц с нулевой суммой. Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из возможных стратегий А_i, i = 1, 2, …,m, а игрок В выбирает одну из возможных стратегий В_j, j = 1, 2, …,n. Каждый выбор производится при полном незнании выбора соперника. В результате выигрыш игроков составит соответственно a_ij и -a_ij. Цель игрока А - максимизировать величину a_ij, а игрока В - минимизировать эту величину.

Матрица, составленная из величин a_ij, i = 1, 2, …,m;j = 1, 2, называется платежной матрицей, или матрицей игры. Каждый элемент платежной матрицы a_ij, равен выигрышу А (проигрышу В), если он выбрал стратегию А_i, , а игрок В выбирал стратегию В_j.

Задача каждого из игроков — найти наилучшую стратегию игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый из них делает все, чтобы получить наибольший доход.

Найдем наилучшую стратегию первого игрока. Если игрок А выбрал стратегию А_i, то в худшем случае (например, если его ход известен В) он получит выигрыш a_i = min a_ij. Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш.

.

Величина a - гарантированный выигрыш игрока А называется нижней ценой игры. Стратегия A_iопт, обеспечивающая получение выигрыша a, называется максиминной.

Если первый игрок будет придерживаться своей максиминной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае выиграет не меньше a.

Аналогично определяется наилучшая стратегия второго игрока. Игрок В при выборе стратегии В_j, в худшем случае получит проигрыш b_j = max a_ij. Он выбирает стратегию B_jопт, при которой его проигрыш будет минимальным и составит

.

Величина b - гарантированный проигрыш игрока В называется верхней ценой игры. Стратегия B_jопт, обеспечивающая получение проигрыша b, называется минимаксной.

Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то у него есть гарантия, что он в любом случае проиграет не больше b.

Фактический выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при разумных действиях партнеров ограничен верхней и нижней ценой игры. Для матричной игры справедливо неравенство a £ b.

Если a = b =v,то выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) оределяется числом v. Оно называется ценой игры.

Если a = b =v, то такая игра называется игрой с седловой точкой, элемент матрицы а_{iопт jопт} =  v, соответствующий паре оптимальных  стратегий (A_iопт, B_jопт), называется седловой точкой матрицы. Этот элемент является ценой игры.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков. Их совокупность — решение игры, которое обладает свойством: если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то второму отклонение от своей оптимальной стратегии не может быть выгодным.

Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Наличие седловой точки в игре – это далеко не правило, скорее, исключение. Существует разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это так называемые игры с полной информацией.

Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т.е. результаты всех предыдущих ходов.

Примерами игр с полной информацией могут служить шашки, шахматы, "крестики-нолики" и т.д.

Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a < b и a £ n £ b , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.

 Смешанной стратегией игрока называется полный набор чистых стратегий, применённых в соответствии с установленным распределением вероятностей. Матричная игра, решаемая с использованием смешанных стратегий, называется игрой со смешанным расширением.

Стратегии, применённые с вероятностью, отличной от нуля, называются активными стратегиями.

 Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, называется смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность m ´ n, стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей (x₁, x₂, ..., x_m), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m-мерные векторы, для координат которых выполняются условия

Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n-мерные векторы (y₁, y₂, ..., y_n), для координат которых выполняются условия

Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен

.

Теорема Неймана. (Основная теорема теории игр) Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий.

Оптимальная стратегия позволяет получить выигрыш, равный цене игры: a £ v £ b.

Применение первым игроком оптимальной стратегии должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий.

Дублирующими называются стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы.

Если все элементы i-й строки платежной матрицы больше соответствующих элементов k-й строки, то  i-я стратегия игрока А называется доминирующей над k-й стратегией. Если все элементы j-го столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k-го столбца, то j-я стратегия игрока В называется доминирующей над k-й стратегией.

Пример. Рассмотрим игру, представленную платежной матрицей

.

a = max (2, 2, 3, 2) = 3, b = min (7, 6, 6, 4, 5) = 4, a ¹ b, .

Все элементы стратегии А₂ меньше элементов стратегии А₃, т.е. А₂ заведомо невыгодна для первого игрока и ее можно исключить. Все элементы А₄ меньше А₃, исключаем А₄.

.

Для второго игрока: сравнивая В₁ и В₄, исключаем  В₁; сравнивая В₂ и В₄, исключаем В₂; сравнивая В₃ и В₄, исключаем В₃. В результате преобразований получим матрицу

.

a = max (2, 3) = 3, b = min (4, 5) = 4, a ¹ b, .

ИГРЫ 2´2

В общем случае игра 22 определяется матрицей

Прежде всего необходимо проверить, есть ли у данной игры седловая точка. Если да, то игра имеет решение в чистых стратегиях. Если же игра с матрицей выигрышей А не имеет чистых стратегий, то оба игрока имеют только такие оптимальные стратегии, которые используют все свои чистые стратегии с положительными вероятностями.

Каковы бы не были действия противника, выигрыш будет равен цене игры n. Это означает, что если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии Х=(х₁, х₂), то игроку В нет смысла отступать от своей оптимальной стратегии Y=(y₁, y₂).

В игре 2´2 не имеющей седловой точки обе стратегии являются активными.

Для игрока А

                                               (1)

Для игрока В

                                               (2)

Если n ¹ 0 и игроки имеют только смешанные оптимальные стратегии, то определитель матрицы А отличен от нуля. Из этого следует, что системы уравнений (1) и (2) имеет единственное решение. Решая систему (1), находим

                                     (3)

                                       (4)

Решая систему (2), находим

                                      (5)

                                       (6)

Цену игры находим, подставляя значения х₁ и х₂ в одно из равенств (1)

                                         (7)

ИГРЫ 2´n и m´2.

Если один из игроков имеет две стратегии, то игра может быть решена графически. Поясним метод решения на примерах.

Пример. Решить игру, заданную платёжной матрицей.

Решение. Поскольку в этой игре игрок А имеет две стратегии задачу решим графическим методом (рис. 1).

На плоскости х0y введём систему координат и на оси 0х отложим отрезок единичной длины. Левый конец отрезка (точка х=0) соответствует стратегии А₁, правый (точка х=1) – стратегии А₂. Промежуточные точки на отрезке соответствуют некоторым смешанным стратегиям игрока А.

Из концов отрезка (точки х=0 и х=1) восстановим перпендикуляры и обозначим их соответственно А₁ и А₂. На перпендикуляре А₁ (в данном случае он совпадает с осью 0y) будем отмечать выигрыш игрока А при стратегии А₁, а на втором – при стратегии А₂. Если игрок В применит стратегию В₁, то выигрыш игрока А при стратегии А₁ составит 2, при стратегии А₂ – 7. На перпендикуляре А₁ отметим точку, соответствующую выигрышу 2, перпендикуляре А₂ – точку, соответствующую выигрышу 7 и соединим их прямой, которую обозначим В₁В₁.

Аналогично построим прямые В₂В₂ и В₃В₃, соответствующие стратегиям В₂ и В₃ игрока В. В результате получим три прямые, расстояние до которых от оси 0х определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий. Например, расстояние от любой точки отрезка В₁В₁ до оси 0х определяет средний выигрыш n при любом сочетании стратегий А₁ и А₂ (с частотами х и 1–х) и стратегией В₁ игрока В.

Чтобы определить наилучший результат из наихудших, построена нижняя огибающая прямых В₁В₁, В₂В₂ и В₃В₃ (изображенная на рисунке толстыми линейными сегментами), которая представляет минимальный (наихудший) выигрыш для игрока А независимо от того, что делает игрок В. Наибольшая ордината, равная цене игры n соответствует точке N, в которой пересекаются прямые В₂В₂ и В₃В₃. Эта означает, что оптимальная стратегия игрока В включает чистые стратегии В₂ и В₃. Координаты точки N находим как координаты пересечения прямых В₂В₂ и В₃В₃. Вспомним, что уравнение прямой, проходящей через две точки имеет следующий вид:

Прямая В₂В₂, проходит через точки (0, 3) и (1, 5):

следовательно

y= 2x + 3;

Уравнение прямой В₃В₃

следовательно

y= – 9x + 11;

Находим пересечение прямых: 2x + 3 = – 9x + 11откуда x = ⁸/₁₁. Это вероятность применения стратегии А₂. Так как вероятности применения стратегий А₁ и А₂ образуют полную группу событий, то вероятность применения стратегии А₁ равна 1 –⁸/₁₁ = ³/₁₁; y = 2´⁸/₁₁ + 3 =⁴⁹/₁₁ – это цена игры n.

Следовательно, оптимальное решение игрока А состоит в применении стратегии А₁ с вероятностью ³/₁₁ и стратегии А₂ с вероятностью ⁸/₁₁. Цена игры n= ⁴⁹/₁₁.

Активные стратегии игрока В (вероятности которых больше нуля) определяются точкой N, это В₂ и В₃, следовательно игра 2´n сведена к игре 2´2.

Поэтому вероятности применения активных стратегий игроком В находим по формулам (3) и (4).

Оптимальная смешанная стратегия игрока А:  Х=(0, ²/₁₁, ⁹/₁₁).

Цена игры n = ⁴⁹/₁₁.

Пример. Найти решение игры, заданной матрицей

Решение. Матрица имеет размерность 4´2. Игрок В имеет две стратегии. Задачу решаем графическим методом (рис. 2).

Строим прямые, соответствующие стратегиям игрока А. Ломанная 7–М–N–9 соответствует верхней огибающей, на которой лежат гарантированные проигрыши игрока В.

Минимальный гарантированный проигрыш достигается в точке N. Решив систему уравнений

        y = –x + 6   (уравнение прямой А₂)

        y = 8x + 1   (уравнение прямой А₄)

найдем координаты точки N = (⁴/₉, ⁵/₉).

Следовательно, оптимальное решение игрока В состоит в применении стратегии В₁ с вероятностью ⁴/₉ и стратегии В₂ с вероятностью ⁵/₉. Цена игры n = ⁴⁹/₁₁.

Пересекающиеся в точке N стратегии А₂ и А₄ являются активными стратегиями игрока А и, следовательно игра m´2 сведена к игре 2´2.

Поэтому вероятности применения активных стратегий игроком А находим по формулам (3) и (4).

Оптимальная смешанная стратегия игрока А Х=(0, ¹/₉, 0, ¹/₉).

Сведение матричной игры к задаче ЛП

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой.

Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей

.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях (x₁, x₂, ..., x_m) и (y₁, y₂, ..., y_n).

Применение первым игроком оптимальной стратегии _опт  должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

, .

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место ограничения

Величина v неизвестна, однако можно считать, что цена игры v > 0. Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число. Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

где

, .

По условию x₁ + x₂ + … +x_m = 1. Разделим обе части этого равенства на v.

.

Оптимальная стратегия (x₁, x₂, ..., x_m)  игрока А должна максимизировать величину v, следовательно, функция

должна принимать минимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции при заданных ограничениях, причем на переменные наложено условие неотрицательности. Решая ее, находим значения t_i, i = 1, 2, …,m  и величину 1/v, затем отыскиваются значения x_i = vt_i.

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока B, для которой имеют место ограничения

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на v.

где

По условию y₁ + y₂ + … +y_n = 1. Разделим обе части этого равенства на v.

Лекция 3 - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

.

Оптимальная стратегия (y₁, y₂, ..., y_n)  игрока В должна минимизировать величину v, следовательно, функция

должна принимать максимальное значение.

Получена задача линейного программирования: найти максимум целевой функции при заданных ограничениях, причем на переменные наложено условие неотрицательности.

Таким образом, для нахождения решения игры имеем симметричную пару двойственных задач линейного программирования. Можно найти решение одной из них, а решение второй находится с использованием теории двойственности.