Уравнения второго порядка
Уравнения второго порядка
I. Дифференциальное уравнение, в котором отсутствует
.
Задача Коши: Дано:
, 
– начальные условия
Пусть отрезок 
разбит на n частей одинаковой длины h,
— узлы.
Найти: 
— значения y(x) в узлах.
Для каждого узла выполняется
Рекомендуемые материалы
Заменим в левой части вторую производную формулой численного дифференцирования по трем точкам:
Правую часть заменим линейной комбинацией
Тогда получим формулу 
явный метод.
Если правую часть заменим другой линейной комбинацией 
, то получим формулу 
неявный метод.
Коэффициенты 
подбираются так, чтобы формула была точна для многочленов наивысшей степени.
Пример. Метод Нумерова — неявный метод, m = 1, четвертого порядка точности.
Вывод формулы методом неопределенных коэффициентов:
Нужно найти формулу 
точную для y(x), являющейся многочленом до четвертой степени.
Пусть xk = 0.
Для y(x) = x2
Для y(x) = x3
Для y(x) = x4
Получается система
Решение системы: 
Применение метода:
1) По формуле Эйлера находим 
.
2) По рекуррентной формуле находим
.
II. Задача Коши: Дано:
, – начальные условия
отрезок разбит на n частей одинаковой длины h,
— узлы.
Найти: — значения y(x) в узлах.
В ходе решения будут найдены также 
значения 
в узлах.
Вам также может быть полезна лекция "Тема 7 - Травматический шок".
Явный метод использует равенства
Неявный метод использует равенства
Пример. Явный метод, m = 0.
