Уравнения второго порядка

Уравнения второго порядка

I. Дифференциальное уравнение, в котором отсутствует.

Задача Коши: Дано:

            

             ,  – начальные условия

Пусть отрезок  разбит на n частей одинаковой длины h,

               — узлы.

 Найти:  — значения y(x) в узлах.          

Для каждого узла выполняется

Рекомендуемые материалы

Заменим в левой части вторую производную формулой численного дифференцирования по трем точкам:

Правую часть заменим линейной комбинацией

Тогда получим формулу  

явный метод.

Если правую часть заменим другой линейной комбинацией , то получим формулу  

неявный метод.

Коэффициенты  подбираются так, чтобы формула была точна для многочленов наивысшей степени.

Пример. Метод Нумерова — неявный метод, m = 1, четвертого порядка точности.

Вывод формулы методом неопределенных коэффициентов:

Нужно найти формулу

точную для y(x), являющейся многочленом до четвертой степени.

Пусть x_k = 0.

Для y(x) = x²    

 

Для y(x) = x³

Для y(x) = x⁴

Получается система

Решение системы:

Применение метода:

1) По формуле Эйлера находим .

2) По рекуррентной формуле находим

.

II. Задача Коши: Дано:

            

             ,  – начальные условия

отрезок  разбит на n частей одинаковой длины h,

               — узлы.

 Найти:  — значения y(x) в узлах.         

В ходе решения будут найдены также 

значения  в узлах.

Вам также может быть полезна лекция "Тема 7 - Травматический шок".

Явный метод использует равенства

Неявный метод использует равенства

Пример. Явный метод, m = 0.