Линейные операторы
Линейные операторы
Определение 1.10 Отображение 
линейного пространства 
в линейное пространство 
называется линейным, если:
1) для любых двух векторов 
;
2) для любого вещественного 
и любого вектора 
Равносильное определение линейного отображения: для любых векторов
и любых вещественных 
образ линейной комбинации
Замечание. Рассматривая отображение (функцию) из линейного пространства 
в линейное пространство , мы часто будем пользоваться обозначением 
, обозначая образ вектора 
в пространстве через 
(без скобок), или 
(со скобками).
Рекомендуемые материалы
Из определения сразу следует, что образ нулевого вектора при линейном отображении будет нулевым вектором, так как
(Разумеется, здесь, вообще говоря, речь идет о двух разных, хотя и одинаково обозначаемых нулевых векторах: один берется в пространстве , а другой - в ).
Линейное отображение называют также часто линейным оператором. Про линейный оператор будем говорить, что он действует из пространства в пространство . Если 
, то соответствующий линейный оператор называют линейным преобразованием (пространства ).
Для оператора мы иногда будем говорить, что есть линейный оператор типа 
.
Примеры. 1) В пространстве 
всех геометрических векторов определим отображение 
проектирования на координатную плоскость 
:
Линейность данного отображения легко проверяется (она может быть доказана и алгебраически, и чисто геометрически - исходя из свойств проекций).
2) В том же пространстве геометрических векторов зададим отображение сдвига на данный вектор 
: 
.
Это отображение не является линейным при ненулевом векторе , ибо тогда образ нулевого вектора не будет нулевым вектором. Отображение сдвига при 
будет тождественным преобразованием пространства , которое, очевидно, линейно.
3) Любая матрица 
определяет линейный оператор, действующий из арифметического пространства 
в арифметическое пространство 
: для любого 
. Линейность следует из свойств операций над матрицами.
4) В пространстве 
отображение, состоящее в интегрировании функции по данному отрезку, будет линейно в силу свойств линейности определенного интеграла. Заметим, что в данном случае образ
есть функция-константа, значение которой на всем отрезке равно значению указанного интеграла.
5) Рассмотрим множество 
всех функций, непрерывно дифференцируемых на отрезке 
(т.е., функций, имеющих на отрезке непрерывную производную) . Нетрудно видеть, что это будет подпространство пространства . Тогда отображение, состоящее в вычислении первой производной функции, будет линейным отображением в (но не будет, конечно, преобразованием пространства , так производная дифференцируемой функции в общем случае не является дифференцируемой).
Определение 1.11 Ядром линейного оператора называется множество всех таких векторов , что 
.
Ядро оператора обозначается 
. Таким образом,
Определение 1.12 Образом линейного оператора называется множество всех таких векторов 
, что существует такой , что 
.
Образ оператора обозначается 
. Таким образом,
Итак, ядро линейного оператора - это множество всех векторов, отображаемых в нулевой вектор, а образ линейного оператора - не что иное, как область значений оператора как функции.
Вернемся к приведенным выше примерам.
Ядро оператора проектирования - это множество всех векторов, перпендикулярных координатной плоскости ; образом же этого оператора служат все векторы, параллельные указанной координатной плоскости.
Ядро оператора, задаваемого матрицей, есть множество всех решений однородной линейной системы
,
тогда как образ этого оператора - это множество всех таких векторов , что система
совместна, то есть (в согласии с теоремой Кронекера-Капелли) таких, что
.
Ядро оператора интегрирования - это множество всех таких функций 
, что 
. В частности, если 
, то ядро оператора интегрирования включает в себя множество всех нечетных функций. Образ этого оператора состоит из всех функций, постоянных на отрезке.
Ядром оператора дифференцирования служит множество всех функций-констант. Так как всякая непрерывная функция имеет первообразную, то в данном случае образ линейного оператора совпадает со всем пространством 
.
Важным является следующее утверждение:
Утверждение 1.6 Ядро линейного оператора есть подпространство пространства , а образ указанного оператора есть подпространство пространства
Доказательство. Если 
, то 
, откуда 
. Далее: 
, т.е. 
.
Итак, ядро есть подпространство пространства .
Пусть теперь 
. Это значит, что найдутся такие 
, что 
, но тогда 
, откуда и следует, что 
. Аналогично доказывается, что 
.
Определение 1.13 Линейный оператор называется мономорфизмом пространства в пространство , если для каждого 
существует единственный такой, что .
Мономорфизм называется изоморфизмом пространства на пространство , если 
.
Рекомендуем посмотреть лекцию "29. Технологии создания электронных документов".
Из определения 1.13 и утверждения 1.6 сразу следует, что любой мономорфизм можно рассматривать как изоморфизм на .
Утверждение 1.7 Линейный оператор является мономорфизмом тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство. 1) Необходимость. Если мономорфизм, то из равенства следует, что 
, так как существует только один вектор, отображаемый в нулевой, а образ нулевого вектора есть нулевой вектор.
2) Достаточность. Пусть ; предположим, что для некоторых 
. Тогда 
.
Утверждение доказано.
Фундаментальная роль понятия изоморфизма выяснится позже, после обсуждения алгебраических действий над линейными операторами.
