Что понимают под функцией случайных величин. Сформулируйте и решите задачу о нахождении закона распределения функции случайных величин (общий случай)
Что понимают под функцией случайных величин? Сформулируйте и решите задачу о нахождении закона распределения функции случайных величин (общий случай).
Случайную величину Y, которая каждому элементарному исходу w ставит с соответствие число Y(w) = Y(X(w)), называют функцией Y(X) (скалярной) от скалярной случайной величины X. Функция Y = Y(X) от дискретной случайной величины также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина X. Функция Y = Y(X) от непрерывной случайной величины X может быть как непрерывной, так и дискретной.
Сформулируем правило определения функции распределения FY(y) по заданной плотности распределения pX(x). FY(y) - вероятность события {Y<y}, состоящая из тех элементарных исходов w, для которых Y(X(w)) < y. Для этих же элементарных исходов w случайная величина X(w) будет принимать свои возможные значения на некоторой совокупности {Dk}, k=1,2,…, непересекающихся промежутков числовой прямой R, т. е. событие {Y(X(w)) < y} эквивалентно событию 
, и, следовательно, по расширенной аксиоме сложения вероятностей
. Зная плотность распределения pX(x) случайной величины X, имеем: 
, а следовательно, учитывая свойство аддитивности определенного интеграла, получаем: 
, где сумма может быть и бесконечной. Поскольку совокупность промежутков {Dk} определена как множество тех значений случайной величины X(w), для которых Y(X(w)) < y, то для множества 
, по которому ведется интегрирование, принято обозначение: Y(x) < y. Окончательно получаем: 
.
