Дайте определение непрерывного случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойства его плотности распределения вероятностей
Дайте определение непрерывного случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойства его плотности распределения вероятностей.
Непрерывной двумерной случайной величиной (X, Y) называют такую двумерную случайную величину (X, Y), совместную функцию распределения которой F(x1, x2) = P{X<x1, Y<x2} можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла: . Функцию p(x1, x2) = pX,Y(x1, x2) называют совместной (двумерной) плотностью распределения случайных величин X и Y, или плотностью распределения случайного вектора (X, Y). .
Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами:
1. p(x1, x2) ³ 0
2.
3.
4.
Люди также интересуются этой лекцией: 3 Системные (материнские) платы.
5.
6.
7. 8.
Доказательство. Свойства 1 – 5 аналогичны свойствам одномерной плотности распределения. Свойство 6 является обобщением свойства 2. Докажем утверждения 7 и 8. Из свойства 7 двумерной функции распределения (см. вопрос 18) и определения двумерной плотности распределения вытекает:
, ,
откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу и учитывая, что , получаем утверждение 7 для одномерных плотностей распределения pX(x) и pY(y) случайных величин X и Y.