Признак Лейбница
Признак Лейбница.
Пусть
1. ряд 
имеет вид 
(знакочередующийся, 
)
2. последовательность 
монотонно убывает
3. 
Тогда 1) ряд сходится
2) 
Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм с четными номерами
Рекомендуемые материалы
(последовательность монотонно убывает по условию теоремы).
Т.е. последовательность 
ограничена сверху 
.
Т.е. последовательность монотонно возрастает.
По теореме Вейерштрасса существует 
.
Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с нечетными номерами
.
По условию , т.е. 
.
По доказанному выше . Следовательно, предел правой части равенства существует и равен 
. Поэтому предел левой части равенства тоже существует и равен
.
Раскроем определение предела 
как для четных n, так и для нечетных n. Следовательно, это справедливо для любых 
, поэтому 
.
Из доказанного выше неравенства 
. Переходя к пределу, получим 
.
Обратите внимание на лекцию "8 Художественная культура Древней Греции".
Следствие. 
. Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда.
Доказательство. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.
То есть 
. А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.
Пример. Ряд 
. Ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд из модулей – расходящийся гармонический ряд. Следовательно, ряд сходится условно.
