Простые линейные модели - описание простой модели

Глава 6  Простые линейные модели

В данной главе рассматриваются простые линейные модели с одним, двумя и тремя параметрами.

6.1. Описание простой модели

При статистическом моделировании с постановкой n опытов эксперимента уравнение линейной регрессионной модели с двумя параметрами, в силу (2.6.3), имеет вид

у_i=q₀x_0i+q₁x_1i+e_i         (i=1, 2, ..., n).

Эта модель линейна относительно параметров q₀ и q₁. Модель у_i=q₀x_0i+q₁x_1i²+e_i тоже линейна относительно параметров q₀ и q₁, но модель у_i=q₀x_0i+exp(q₁x_1i)+e_i нелинейная относительно q₀ и q₁. Кроме этого, в рассматриваемых здесь линейных моделях для всех опытов эксперимента значение переменной x₀=1. Поэтому для n опытов модель с двумя параметрами можно записать так

у_i=q₀+q₁x_i+e_i.                                                (6.1.1)

В этой главе полагаем, что у_i и e_i - случайные переменные, а значения x_i влияющей на отклик переменной или фактора являются известными числовыми значениями. Это значит, что одни и те же значения x₁, x₂, ..., x_п фактора x устанавливаются в повторных опытах эксперимента.

Вместе с этой лекцией читают "Лекция 17 - Инфекционные заболевания".

Для завершения описания представленной выражением (6.1.1) модели делаются следующие дополнительные допущения:

1. Математические ожидания E(e_i)=0 для всех i=1, 2, ..., n или, что то же самое, Е(у_i)=q₀+q₁x_i.

2. Дисперсии D(e_i)=s² для всех i=1, 2, ..., n или, что то же самое, D(у_i)=s².

3. Ковариации C(e_i, e_j)=0 для всех i≠j (j=1, 2, ..., n) или, что то же самое, C(у_i, у_j)=0.

Первое допущение утверждает, что функция Е(у_i)=q₀+q₁x_i модели верна и поэтому изменения значений переменных отклика у_i зависят только от изменений значений x_i влияющей на отклик переменной, а все другие изменения переменных у_i являются случайными. Второе допущение означает, что дисперсии переменных e_i или у_i не зависят от значений x_i. (Это допущение известно также как допущение однородности дисперсий или постоянной дисперсии.) Третье допущение утверждает, что в опытах эксперимента переменные e_i (или у_i) не коррелированы друг с другом. Далее в разделе 6.3 будет добавлено допущение о распределении их по нормальному закону и, в связи с этим, переменные у_i (или e_i) будут не коррелированы и независимы. Каждое допущение было выражено с использованием переменных e_i и у_i. Например, если дисперсия D(e_i)=s², то D(у_i) =E[у_i–Е(у_i)]²=Е(у_i–q₀–q₁x_i)²=Е(e_i²)=s².

Для реальных результатов опытов эксперимента любые из этих допущений могут не соблюдаться. Графическое представление полученных данных часто показывает отклонения от первого и второго допущений (и в меньшей степени от третьего). Методы проверки допущений обсуждаются в главе 8.