Средние и ковариации разделённых векторов
3.5. Средние и ковариации разделённых векторов
Положим, что вектор v случайных переменных разделён на два подвектора случайных переменных, которые обозначены у и х:
v==.
Таким образом, элементами вектора v являются p+q случайных переменных.
Для разделённого вектора v его вектор средних и матрица дисперсий и ковариаций представляются соответственно как
m=E(v)=E== (3.5.1)
и
S=С(v)=С=, (3.5.2)
где Sxy=SухT. В (3.5.1) вектор yT=[E(y1), E(y2),..., Е(yp)] содержит средние переменных y1, y2,..., ур, а вектор x содержит средние переменных х1, х2,..., хq. В (3.5.2) подматрица Syy=D(у) является матрицей дисперсий и ковариаций размеров рхр вектора у, содержащая по диагонали дисперсии переменных y1, y2,..., ур, а вне диагонали - ковариации каждой уi с другой уj (i≠j)
Рекомендуемые материалы
Syy=.
Рекомендуем посмотреть лекцию "6. Итальянская журналистика в 1943 - 45".
Аналогично, Sxx=D(х) - матрица дисперсий и ковариаций размеров qхq переменных х1, х2,..., хq. Матрица Syx в (3.5.2) размеров pхq содержит ковариации каждой уi с каждой xj
Syx=.
Таким образом, если р≠q, то Syx прямоугольная. Матрица ковариаций Syx обозначается также С(у, х) и может быть определена в виде
Syx=С(у, х)=E[(y–y)(х–x)T]. (3.5.3)
Обратим внимание на различие правых частей для С в (3.5.2) и С(у, х)=Syx в (3.5.3).
В итоге, обозначение ковариации использовалось тремя способами: С(уi, уj), D(у) и С(у, х). При первом обозначении С(уi, уj) ковариация является скаляром, при втором обозначении D(у) ковариация является симметричной (как правило, положительно определённой) матрицей, а при третьем обозначении С(у, х) ковариация представляет собой прямоугольную матрицу.