Зависимость и независимость случайных переменных

1.7. Зависимость и независимость случайных переменных

Положим, что известна функция р(у) плотности вероятности популяции значений роста новобранцев армии и случайно выбирается новобранец. Не видя его, что известно о его росте? Видимо, рост точно неизвестен. Но было бы неверно сказать, что о росте ничего неизвестно, так как, зная функцию р(у) плотности вероятности распределения значений роста всех новобранцев, можно сделать следующие высказывания: вероятность, что случайно выбранный новобранец ниже у₀см равна Р₀, а вероятность, что он выше у₀см, но ниже у₁см, равна Р₁. Отсюда значение случайной переменной (у), то есть рост случайно взятого новобранца, точно неизвестно, но известно её распределение вероятности.

Статистическая зависимость

Предположим, рассматриваются две характеристики популяции новобранцев, такие как рост у₁ в сантиметрах и вес у₂ в килограммах. Для них имеются функции плотности вероятности распределений роста р₁(у₁) и веса р₂(у₂). Отсюда рост и вес случайно взятого новобранца имеют распределения вероятности и являются случайными переменными. Далее рассмотрим распределение вероятности веса новобранцев ростом 190см. Функция плотности вероятности этого распределения записывается в виде р₂(у₂|у₁=190). Оно называется условным распределением веса у₂ при условии, что рост у₁ равен 190см (вертикальная черта означает «при условии»). Надо ожидать, что условное распределение с функцией плотности вероятности р₂(у₂|у₁=190) веса новобранцев, чей рост 190см, является существенно отличным от условного распределения с функцией плотности вероятности р₂(у₂|у₁=165) веса новобранцев ростом 165см. Таким образом распределение веса новобранцев зависит от их роста и поэтому случайные переменные роста у₁ и веса у₂ являются статистически зависимыми.

Теперь положим, что случайная переменная у₃ является показателем умственных способностей новобранцев. Тогда может оказаться, что условное распределение показателя умственных способностей будет одним и тем же для новобранцев ростом 190см и 165см. То есть, имеем равенство функций плотности вероятности

р₃(у₃|у₁=190)=р₃(у₃|у₁=165).

А если это условное распределение одно и то же для новобранцев любого роста, то

р₃(у₃|у₁)=р₃(у₃).

В этом случае распределение показателя умственных способностей новобранцев не зависит от их роста и поэтому случайные переменные у₁ и у₃ являются статистически независимыми.

Рекомендуемые материалы

Совместное распределение случайных переменных

Для случайных переменных роста у₁, измеряемого с точностью до 1см, и веса у₂, измеряемого с точностью до 1кг, рассмотрим совместную вероятность выбора новобранца ростом 165см и весом 64кг. Эта вероятность обозначается в виде Pr(у₁=165, у₂=64). Способ отбора новобранцев такого типа состоит в отборе сначала группы новобранцев весом 64кг, а затем отборе из этой группы новобранцев ростом 165см. Тогда, требуемая совместная вероятность равна произведению вероятности отбора новобранца весом 64кг на вероятность отбора новобранца ростом 165см, при условии, что его вес 64кг. Это записывается математически так

Рr(у₁=165, у₂=64)=Рr(у₂=64)xРr(у₁=165|у₂=64).

С тем же успехом такой отбор можно сделать, сначала отбирая группу новобранцев желаемого роста, а затем отобрать из этой группы тех, кто имеет требуемый вес. Таким образом, так же верна следующая запись

Рr(у₁=165, у₂=64)=Рr(у₁=165)xРr(у₂=64|у₁=165).

Аналогичные вычисления применимы и к плотности вероятности. Так, если р(у₁, у₂) является совместной плотностью вероятности, связанной с особыми (точными) значениями двух случайных переменных у₁ и у₂, то совместная плотность всегда может быть представлена следующим образом:

р(у₁, у₂)=р(у₁)xр(у₂|у₁)=р(у₂)xр(у₁|у₂).                                   (1.7.1)

Если случайные переменные у₁ и у₂ статистически независимы, то р(у₂|у₁) =р(у₂). Подстановка этого выражения в (1.7.1) показывает, что в особых условиях статистической независимости совместная плотность вероятности может быть получена умножением индивидуальных плотностей вероятности

р(у₁, у₂)=р(у₁)xр(у₂).                                                  (1.7.2)

Соответствующая формула произведения применима и к вероятностям событий. Так, если у₃ является случайной переменной показателя умственных способностей независимой от переменной роста у₁, то вероятность выбора новобранца с показателем умственных способностей больше 130 и ростом выше 180см получается в результате произведения двух вероятностей

Рr(у₁>180, у₃>130)=Рr(у₁>180)xРr(у₃>130).

Обратите внимание на лекцию "Лекция 2".

Эта формула произведения вероятностей неприменима к статистически зависимым случайным переменным. Например, вероятность того, что случайно взятый новобранец весит более 90кг (у₂>90) и выше 180см (у₁>180), не может быть вычислена умножением отдельных вероятностей. В этом случае формула умножения вероятностей неприменима, так как р(у₂|у₁) не равна р(у₂), а зависит от у₁.

Приведённые доводы справедливы для любого числа переменных. Например, если случайные переменные у₁, у₂, ..., у_n распределены независимо и у₁, у₂, ..., у_n - конкретные значения этих случайных переменных, то

Рr(у₁>у₁, у₂>у₂, …, у_n>у_n)=Рr(у₁>у₁)xРr(у₂>у₂)x…xРr(у_n>у_n).

Результаты опытов эксперимента как случайные переменные

В приведённом выше примере случайные переменные у₁, у₂, у₃ представляли: рост, вес и показатель умственных способностей. Приведённые формулы также применимы и тогда, когда переменными являются наблюдения результатов опытов эксперимента. Положим, что у₁, у₂, ..., у_n измерения результатов, записанные в порядке их получения в опытах эксперимента. Рассмотрим наблюдение у₁ в первом опыте. Положим, что это наблюдение может рассматриваться как случайная переменная, то есть оно может быть определено как извлечение из некоторой популяции наблюдений первого опыта, имеющей функцию р₁(у₁) плотности вероятности. Положим, что в других опытах наблюдения у₂, у₃, ..., у_n могут рассматриваться также как случайные переменные, значения которых извлекаются из соответствующих популяций, имеющих функции плотностей вероятности р₂(у₂), р₃(у₃), ..., р_n(у_n).

Если представляемые случайными переменными у₁, у₂, ..., у_n результаты опытов статистически независимы, то их совместная плотность вероятности находится по формуле р_с(у₁, у₂, ..., у_n)=р₁(у₁)xр₂(у₂)x...xр_n(у_n). И если функции р₁(у₁), р₂(у₂), ..., р_n(у_n) плотности вероятности не только независимы, но и одинаковы по форме, то есть имеют одинаковое положение центра, разброс и форму, то эти n случайных переменных у₁, у₂, ..., у_n результатов наблюдений являются распределёнными одинаково и независимо. В этом случае выборка наблюдений у₁, у₂, ..., у_n представляется как будто она получена случайными извлечениями из одной популяции, имеющей одну функцию р(у) плотности вероятности. При этом, если общее распределение популяции было бы по нормальному закону, то случайные переменные у₁, у₂, ..., у_n наблюдений были бы распределены одинаково, независимо и по нормальному закону.