График кумулятивных вероятностей нормального распределения
1.6. График кумулятивных вероятностей нормального распределения
На Рис.1.5.5 изображено распределение популяции значений случайной переменной (у) по нормальному закону. Вероятность появления некоторого значения популяции меньшего y0 равна заштрихованной площади. Если теперь построить график зависимости величины заштрихованной площади от соответствующих значений переменной (у), то получится сигмоидальная кривая распределения интегральных или кумулятивных вероятностей, как показано на Рис.1.6.1.
На графике кумулятивных вероятностей нормального распределения шкалу по вертикальной оси корректируют так, чтобы зависимость кумулятивных вероятностей от значений случайной переменной (у) представлялась в виде прямой линии. Для 10 значений случайной выборки наблюдений из популяции, имеющей распределение по нормальному закону, это делается следующим образом [Box с соавт. (2005) стр.33].
Так как размер выборки 10, то для представления первых 10% распределения кумулятивных вероятностей можно взять крайнее слева значение чтобы на Рис.1.6.1 изобразить это первое значение на полпути между нулём и 10%, то есть, при 5%. Так же второе значение слева может быть взято для представления вторых 10% распределения кумулятивных вероятностей между 10 и 20% и изображено при промежуточном значении 15%. Указанные действия выполняются со всеми значениями выборки по порядку слева направо и, как можно ожидать, эти значения выборки приблизительно отслеживают сигмоидальную кривую на Рис.1.6.1.
Рис.1.6.1. Сигмоидальная кривая распределения интегральных вероятностей
Вам также может быть полезна лекция "Часть 12".
Таким же образом, когда эти точки строятся по вертикальной шкале кумулятивных вероятностей нормального распределения, то они располагаются приблизительно по прямой линии, как показано на Рис.1.6.2. Здесь вместо обозначения ординат в процентах общепринято использовать другой масштаб нормальных подсчётов (Normal scores), то есть шкалу стандартных отклонений от среднего. И, как показано выше на Рис.1.5.4, кумулятивная вероятность для одного стандартного отклонения в положительном направлении равна 0,84, а для одного стандартного отклонения в отрицательном направлении равна 0,16.
С использованием прямой линии, представляющей график кумулятивных вероятностей нормального распределения, можно приблизительно оценить стандартное отклонение. Если на Рис.1.6.2 значения переменной (у) считывать по горизонтальной оси для вероятностей 0,16, 0,50 и 0,84 по вертикальной оси, то результат оценки стандартного отклонения равен расстоянию по горизонтальной оси между полученными с использованием прямой линии проекциями точек 0,16 и 0,50 на вертикальной оси или между таким же образом полученными проекциями точек 0,50 и 0,84, или половине расстояния между проекциями точек 0,16 и 0,84.
Существуют компьютерные программы для построения графиков кумулятивных вероятностей распределений. Они помогают определить, расположены ли точки по прямой и дают комментарии о размещении точек по прямой линии. Такие комментарии должны быть предметом рассмотрения в конкретной области исследования.
Рис.1.6.2. График кумулятивных вероятностей нормального распределения
Графические изображения кумулятивных вероятностей распределений иногда используются для проверки нормальности распределений, но для этого нужна большая выборка значений данных. Такие графики способны указать и на подозрительные значения данных, которые могут появиться в исследовании. Другое важное применение графиков кумулятивных вероятностей распределений имеет место при анализе экспериментов выполняемых по полным и дробным факторным планам.
