Особые точки функций комплексной переменной

Лекция 8.

Особые точки функций комплексной переменной.

Правильная точка.

Пусть функция  - аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки . Если существует комплексное число A, доопределяя которым функцию в самой точке, удается сделать функцию аналитической в окрестности точки  (включая точку ), то точка  называется правильной точкой функции . Если такого числа не существует, то точка  называется изолированной особой точкой  (однозначного характера).

Если  - правильная точка функции , то .

Теорема. Для того чтобы  была правильной точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы функции  была ограниченной в окрестности точки .

Доказательство. Необходимость. Если  - правильная точка функции , то, доопределяя ее в точке , сделаем функцию аналитической, следовательно, и непрерывной, (тогда ). Непрерывная функция является ограниченной в некоторой окрестности точки.

Достаточность. Пусть функция - аналитическая в проколотой окрестности точки   и ограничена в окрестности . 

Так как функция  аналитическая в круговом кольце , то по теореме Лорана ее можно разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана . Справедливы неравенства Коши . Рассмотрим . . Следовательно, .Тогда ряд Лорана для функции  превращается в ряд Тейлора . Доопределим функцию в точке  .Тогда функция   станет аналитической в окрестности  как сумма степенного ряда. Поэтому точка  - правильная точка функции .

Рекомендуемые материалы

Следствие. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.

Следствие.Теорема Лиувилля. Любая целая, ограниченная во всей расширенной плоскости функция, есть константа.

Доказательство. Целая функция содержит только положительные степени в ее разложении в ряд Лорана (). Из неравенств Коши   при  будет . Следовательно, .

Полюсы

Пусть не существует конечного предела . Если  = , то особая точка  называется полюсом функции .

Связь полюсов и нулей.

Точка  называется нулем функции , если  .

Теорема. Для того чтобы точка  была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем функции .

Доказательство. Необходимость. Пусть  -  полюс функции , тогда  аналитическая в , а    = , то есть

Тогда функция  аналитическая в  и ограничена в окрестности точки . Поэтому точка  - правильная точка функции  и существует конечный . В силу произвольности =0.  - нуль функции .

Достаточность. Пусть  - нуль функции  ( - правильная точка функции ) и  аналитическая в .

Тогда  . Следовательно, = и  -  полюс функции .

Примеры.

1. . Так как точки  - нули функции , то точки  полюсы функции .

2. . Так как , то  - полюс функции .

Будем считать  аналитической в

Точка  называется полюсом n–го порядка функции , если .

Точка  называется нулем n–го порядка функции , если ,

.

Пример. . Точка  - полюс пятого порядка,  - полюс третьего порядка, - полюс второго порядка..

Теорема. Для того чтобы точка  была полюсом функции  n-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы она была нулем n-го порядка функции .

Доказательство. Необходимость. Пусть точка   полюс функции  n-го порядка, тогда  , =

, где  . Так как  - аналитическая в  и , то  - аналитическая в  и , поэтому точка  - нуль n-го порядка функции .

Достаточность доказать самостоятельно (доказательство аналогично).

Теорема. Для того  чтобы точка   была полюсом n-го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степеням  не содержало степеней ниже (-n) и содержало слагаемое .

Доказательство. Необходимость. Если точка   - полюс n-го порядка функции , то . Разложим аналитическую функцию  в ряд Тейлора по степеням  и подставим разложение. . .

Достаточность. Пусть . Тогда

, где  - аналитическая в  точке   функция (как сумма степенного ряда). Поэтому  - полюс n-го порядка функции .

Существенно особая точка.

Если вообще не существует , ни конечного, ни бесконечного, то особая точка  называется существенно особой точкой функции .

Теорема. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки конечной плоскости  содержит бесконечное количество отрицательных степеней .

Доказательство. Если разложение в ряд Лорана в окрестности особой точки конечной плоскости  не содержит отрицательных степеней, то точка  - правильная (доказанная выше теорема) - противоречие. Если разложение в ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней, то точка  - полюс (.доказанная выше теорема) - противоречие. Остается только вариант наличия в разложении бесконечного числа слагаемых с отрицательными степенями.

Теорема Сохоцкого. Каково бы ни было число А, конечное или бесконечное, существует такая  последовательность - существенно особая точка функции , что .

Доказательство. 1) Пусть A – конечное число.  Предположим, что не существует последовательности, о которой идет речь в теореме. Тогда значения функции отделены от A, т.е. . Рассмотрим функцию .

Из предыдущей оценки следует, что в - окрестности точки  , т.е.  ограничена, следовательно, - правильная точка функции . Поэтому существует конечный предел .

a) Пусть . Выразим  через . . Тогда =  - конечное число. Следовательно, - правильная точка функции  - противоречие.

b) Пусть . .

Тогда , т.е.  - полюс . Противоречие.

2) Пусть . Надо доказать, что при . Пусть для любой последовательности  не стремится к бесконечно удаленной точке. Тогда для любой последовательности , следовательно, функция  ограничена в окрестности , тогда  - правильная точка  - противоречие.

Классификация особой точки   (конечной плоскости) функции  по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Если разложение функции  в ряд Лорана в окрестности  (по степеням ):

1. Не содержит отрицательных степеней, то  - правильная точка .

2. Содержит конечное число отрицательных степеней, то  - полюс , причем наинизшая отрицательная степень определяет порядок полюса.

3. Содержит бесконечное количество членов с отрицательными степенями, то  - существенно особая точка .

Это следует из доказанных выше теорем.

Классификация бесконечно удаленной особой точки   функции  по ее разложению в ряд Лорана  в окрестности этой точки.

Разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области представляет собой ряд Лорана по степеням z:  , в котором главная часть, определяющая особенности функции, содержит положительные степени, а правильная часть – отрицательные степени.

Если разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области :

1 Не содержит положительных степеней, то  - правильная точка .

2 Содержит конечное число положительных степеней, то  - полюс , причем наивысшая положительная степень определяет порядок полюса.

3 Содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, то  - существенно особая точка .

Примеры.

Люди также интересуются этой лекцией: 33. Феномен «Монд» .

1 . Это и есть разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области , поэтому  - полюс  второго порядка.

2 . Разложение по степеням : справедливо в области , т.е. в окрестности точки . Оно содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, поэтому  - существенно особая точка .

3 . Запишем разложение в окрестности точки , т.е. в области .

. Разложение не содержит положительных степеней , поэтому точка  - правильная, точнее, нуль первого порядка.

4.    . Запишем разложение по степеням  в окрестности точки .

В разложении старшая положительная степень – первая, поэтому  - полюс первого порядка. Это же разложение справедливо в области , поэтому оно является разложением в окрестности точки . В нем бесконечное количество отрицательных степеней, поэтому точка  - существенно особая.