Теоремы Тейлора и Лорана
Лекция 8.
Теоремы Тейлора и Лорана
Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд
(теорема Тейлора).
Пусть функция - аналитическая в односвязной области
с кусочно-гладкой границей
,
. Тогда функция
разлагается в степенной ряд по степеням
в круге
(расстояние от точки до границы области).
Доказательство. Точка лежит внутри
, поэтому можно выбрать
целиком лежит в области
Пусть точка z принадлежит кругу Рекомендуемые материалы-62% Теория функций комплексного переменного -62% Теория функций комплексного переменного -66% Определенный интеграл -62% Теория функций комплексного переменного -62% Теория функций комплексного переменного -62% Теория функций комплексного переменного Разложим | |
.
Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией
и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге
.
Функция - аналитическая в
и на
, следовательно, она непрерывна и ограничена на
. То есть
на
.
Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .
. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией
и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге
. Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.
, где коэффициенты ряда Тейлора равны
. В самом деле, по следствию из интегральной формулы Коши
. Заметим, что точно так же записывался ряд Тейлора для функции действительной переменной:
. Таким образом, показано, что функция, аналитическая в круге, разлагается в нем в сходящийся степенной ряд. Это разложение единственно и оказывается рядом Тейлора для данной функции. Коэффициенты разложения вычисляются однозначно по формулам
.
Неравенства Коши.
, где
. Таким образом, справедливы неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора разложения функции в окрестности точки
. По следствию из интегральной теоремы Коши для многосвязной области здесь R можно выбрать любым, лишь бы R не превышало расстояния от точки
до границы области G.
Ряд Лорана.
Рядом Лорана называется ряд =
+
.
Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге . Это слагаемое называется правильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда аналитической функцией.
Первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана. Делая в нем замену , запишем главную часть в виде
. Относительно переменной t
это – степенной ряд, сходящийся в некотором круге . Возвращаясь к переменной z, получим, что главная часть сходится во внешности круга, радиуса r:
. Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. Поэтому область сходимости ряда Лорана представляет собой круговое кольцо
. Радиусы сходимости r, R определяются для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца также исследуется, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, представлять собой окружность, если r = R или пустое множество, если r > R.
Теорема Лорана.
Функция , аналитическая в круговом кольце
и на его границе, разлагается в нем в сходящийся ряд Лорана.
По теореме Коши для многосвязной области
| |
По интегральной формуле Коши =
-
.
Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.
1) В первом слагаемом повторим все выкладки из доказательства теоремы Тейлора, считая ,
.
.
Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией
и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге
.
Функция - аналитическая на
, следовательно, она непрерывна и ограничена на
. То есть
на
.
Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .
. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией
и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге
. Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.
, где коэффициенты ряда Тейлора равны
=
(По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование по
можно заменить интегрированием по
).
.
2) Рассмотрим второе слагаемое, полагая ,
.
. Это справедливо, так как здесь
.
Функция - аналитическая на
, следовательно, она непрерывна и ограничена на
. То есть
на
.
Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию
. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно
Рекомендуем посмотреть лекцию "2.1. Силы, действующие в жидкости".
Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса во внешности круга
. Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.
, где коэффициенты ряда Тейлора равны
.
(По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование по
можно заменить интегрированием по
).
Складывая полученные разложения для двух слагаемых, получим разложение функции в ряд Лорана
, где коэффициенты ряда Лорана раны
.
.
Для коэффициентов ряда Лорана аналогично выводятся неравенства Коши .