Теоремы Тейлора и Лорана

Лекция 8.

Теоремы Тейлора и Лорана

Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд

(теорема Тейлора).

Пусть функция  - аналитическая в односвязной области  с кусочно-гладкой границей , . Тогда функция  разлагается в степенной ряд по степеням  в круге   (расстояние от точки до границы области).

Доказательство. Точка  лежит внутри , поэтому можно выбрать  целиком лежит в области

.

Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге .

Функция  - аналитическая в  и на , следовательно, она непрерывна и ограничена на . То есть  на .

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .    

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны

. В самом деле, по следствию из интегральной формулы Коши

. Заметим, что точно так же записывался ряд Тейлора для функции действительной переменной: . Таким образом, показано, что  функция, аналитическая в круге, разлагается в нем в сходящийся степенной ряд. Это разложение единственно и оказывается рядом Тейлора для данной функции. Коэффициенты разложения вычисляются однозначно по формулам .

Неравенства Коши.

, где

. Таким образом, справедливы неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора разложения функции в окрестности точки  . По следствию из интегральной теоремы Коши для многосвязной области здесь R можно выбрать любым, лишь бы R не превышало расстояния от точки  до границы области G.

Ряд Лорана.

Рядом Лорана называется ряд = +.

Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге . Это слагаемое называется правильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда аналитической функцией.

Первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана. Делая в нем замену , запишем главную часть в виде . Относительно переменной t

это – степенной ряд, сходящийся в некотором круге . Возвращаясь к переменной z, получим, что главная часть сходится во внешности круга, радиуса r:

 . Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. Поэтому область сходимости ряда Лорана представляет собой круговое кольцо . Радиусы сходимости r, R определяются  для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца также исследуется, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, представлять собой окружность, если r = R или пустое множество, если r > R.

Теорема Лорана.

Функция , аналитическая в круговом кольце и на его границе, разлагается в нем в сходящийся ряд Лорана.

По интегральной формуле Коши =-.

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.

1) В первом слагаемом повторим все выкладки из доказательства теоремы Тейлора, считая , .

.

Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге .

Функция  - аналитическая на , следовательно, она непрерывна и ограничена на . То есть  на .

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .    

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны

 = (По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование по можно заменить интегрированием по ).

.

2) Рассмотрим второе слагаемое, полагая , .

. Это справедливо, так как здесь .

Функция  - аналитическая на , следовательно, она непрерывна и ограничена на . То есть  на .

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию     

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно

Рекомендуем посмотреть лекцию "2.1. Силы, действующие в жидкости".

Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса во внешности круга . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны . (По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование по можно заменить интегрированием по ).

Складывая полученные разложения для двух слагаемых, получим разложение функции в ряд Лорана

, где коэффициенты ряда Лорана раны ..

Для коэффициентов ряда Лорана аналогично выводятся неравенства Коши .