Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать достаточное условие

Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба графика функции. Доказать достаточное условие.

Первое достаточное условие существования точки перегиба.

Пусть  определена в , дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки С и непрерывна в самой точке С. Для того, чтобы в точке (С, ) , была точка перегиба, достаточно, чтобы при переходе значения аргумента через точку С  меняла знак.

Дано:  меняет знак. Доказать: точка (c, )- точка перегиба.

Док-во: Т.к.  меняет знак, то в левой и правой полуокрестностях график функций имеет различные направления выпуклости, согласно достаточным условиям выпуклости графика функции. По условию теоремы, функция непрерывна в точке С. По определению точка (c, )- точка перегиба.>

Второе достаточное условие существования точки перегиба.

Пусть ф-ция определена в  и имеет производные до n-го порядка включительно в самой точке С, причем , а . Для того, чтобы точка (c,) была точкой перегиба графики функции достаточно, чтобы n было нечетно.

Док-во: Рассмотрим  в окрестности точки С, она как функция имеет производные до (n-2) – го порядка. Разложим ее по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. , где -б.м.ф. при . . .  .  Существует , (сохраняется знак предела). Если n-нечетное, существует  такая, в пределах которой при переходе значения аргумента через С, вторая производная меняет знак. Согласно первому достаточному условию, точка (c,) – точка перегиба.