Метод получения топологических уравнений на основе матрицы контуров и сечений
Метод получения топологических уравнений на основе матрицы контуров и сечений.
Метод, основанный на использовании информации, заключенной в М-матрице (в матрице контуров и сечений), - наиболее удобный и общий метод получения топологических уравнений.
М-матрица строится на основании ориентированного графа эквивалентной схемы и выбранного для этого графа дерева. Количество столбцов матрицы соответствует числу, ветвей дерева, а количество строк - числу хорд.
Процедура формирования М-матрицы заключается в следующем: каждая хорда графа поочередно включается в дерево, при этом образуется замкнутый контур. Обход этого контура выполняется в направлении, заданном направлением хорды; в строке матрицы, соответствующей данной хорде, ставится +1, если направление ветви дерева совпадает с направлением обхода контура, -1, если направление ветви дерева противоположно, 0, если ветвь не входит в данный контур.
Рассмотрим получение матрицы контуров и сечений для графа, показанного на рис. 2. М-матрица этого графа представлена в таблице 2.
Таблица 2.
|
| б | г | Рекомендуемые материалы-52% Определенный интеграл -52% Определенный интеграл -52% Определенный интеграл -52% Определенный интеграл -52% Определенный интеграл -42% Расчет на прочность. Общий случай напряженного состояния д | е | ж |
| а | -1 | 0 | 0 | +1 | -1 |
| в | +1 | +1 | 0 | 0 | 0 |
| к | 0 | 0 | +1 | 0 | 0 |
| и | 0 | -1 | -1 | -1 | 0 |
При подключении хорды а образуется контур из ветвей дерева б, е, ж, в столбцах матрицы, соответствующих ветвям б и ж, появится -1, в столбце, соответствующем ветви е, будет +1, остальные столбцы содержат 0. Аналогично заполняются и другие строки.
Топологические уравнения с использованием М-матрицы имеют вид
(1)
(2)
где Uв.д, Uх - векторы переменных типа разностей потенциалов на ветвях дерева и хордах; Iв.д, Iх - векторы переменных типа потока для ветвей дерева и хорд; Мt транспонированная М-матрица.
Рекомендация для Вас - Модели надежности ПО.
Для М-матрицы таблицы 2 имеем:
где Ui и Ii - переменные типа U и I для ребра i.
Уравнение (1) есть не что иное, как уравнение второго закона Кирхгофа (или ему аналогичное согласно аналогиям топологических уравнений), записанное в матричной форме, а (2) - уравнение первого закона Кирхгофа (или ему аналогичное) для сечений дерева. Линии сечений графа (рис. 3) отмечены пунктирными линиями.
Примечание. Сечения дерева специально выбирать не надо. Уравнения для сечений получаются из М-матрицы, для построения которой сечения не привлекаются, и на рис. 2 они отмечены для визуальной проверки полученных уравнений.
Количество топологических уравнений равно количеству ветвей эквивалентной схемы.
