Простой случайный отбор с возвращением
8. Простой случайный отбор с возвращением
8.1. Определение метода
Простая случайная выборка с возвращением объема n соответствует плану отбора, при котором все выборки объема n имеют одинаковую вероятность быть отобранными. Однако единицы могут извлекаться более одного раза.
Следовательно планом выборки является
Процедура простого случайного отбора с возвращением
Последовательно производим n независимых случайных извлечений единиц из всего списка единиц конечной генеральной совокупности. На каждом шаге отбора все единицы имеют равный шанс быть включенными в выборку (с вероятностью 1/N).
Утверждение 3.
Рекомендуемые материалы
При простом случайном отборе с возвращением для вероятностей включения единиц в выборку имеем
Доказательство.
Пусть 
фиксировано. Тогда на любом шаге отбора:
В силу независимости извлечений в целом по всем шагам отбора имеем
8.2. Оценивание
Лемма 2:
Замечания.
1. Доказательство леммы 2 аналогично тому, которое было приведено в случае бесповторной выборки.
2. Значения 
- независимые случайные переменные.
Аналогично случаю отбора без возвращения легко показать, что справедливо следующее утверждение.
Теорема.
При простом случайном отборе с возвращением
- несмещенная оценка
- несмещенная оценка Y
Отметим, что 
8.3. Точность оценок
При простом случайном отборе с возвращением имеем
Доказательство.
Замечание.
Отбор без возвращения предпочтительнее, так как дает более точные результаты оценивания:
Определение.
Эффектом плана выборки (дизайн эффектом) называется отношение дисперсии оценки, соответствующей примененному сложному плану, к дисперсии оценки простого случайного отбора без возвращения:
Замечание.
Для простого случайного отбора с возвращением эффект плана равен
.
8.4. Оценка точности
Информация в лекции "6.9 Культурная аккумуляция" поможет Вам.
Утверждение 4.
Дисперсия выборки 
является несмещенной оценкой дисперсии совокупности 
.
Доказательство.
Следовательно,
