Оценка необходимости эксперимента в условиях неопределенности
Оценка необходимости эксперимента в условиях неопределенности
Для любой экономической задачи, решаемой с помощью теории статистических игр (игр с природой), может быть определено абсолютно минимальное значение выигрыша, который ЛПР получит в наихудшей для себя ситуации. Эта величина может быть равна, например, сумме затрат на производство продукции при нулевой выручке от ее реализации, максимально возможным потерям, возникшим вследствие принятого решения и т.д. В процессе принятия решения для определения наиболее выгодной стратегии ЛПР необходима информация о вероятностях состояния природы (окружающей среды). В частности, повышение уровня информированности может быть достигнуто при обращении ЛПР к услугам консультационной службы, способной составить хорошо обоснованный прогноз развития ситуации. Можно рассматривать данное действие как своего рода “эксперимент”, проведение которого, несомненно, требует затраты определенных средств.
С экономической точки зрения эксперимент целесообразно проводить в том случае, если затраты на его проведение не превышают выигрыша, который можно получить при более точном знании стратегии природы. Рассмотрим решение проблемы, основанное на известных вероятностях состояний природы, которое гарантирует при многократном повторении игры в сходных условиях получение максимального в среднем выигрыша.
Пусть известны матрица выигрышей 
игры с природой и вероятности 
различных состояний природы 
. Известны также затраты на проведение эксперимента, которые составляют 
руб.
Если эксперимент не проводится, то средний выигрыш игрока I определяется выражением:
.
Пусть эксперимент проведен, и выяснено действительное состояние природы. Если этим состоянием оказалось 
, то выигрыш первого игрока 
если 
, то выигрыш 
и т. д. Наконец, при действительном состоянии природы 
выигрыш игрока I 
. Если истинное состояние природы неизвестно, то гипотетический средний выигрыш 
игрока I находится из выражения 
.
Таким образом, условие целесообразности проведения эксперимента можно записать в виде
Рекомендуемые материалы
.
Если данное условие не выполняется, то эксперимент проводить нецелесообразно и в качестве оптимальной стратегии следует выбирать ту, для которой средний риск минимален.
Пример 3.
Матрица выигрышей игры с природой приведена ниже. Вероятности состояний природы 
известны и равны соответственно:
Затраты на проведение эксперимента для выяснения условий, в которых будет осуществляться операция, составляют 0,8 млрд. руб. Необходимо определить целесообразность проведения эксперимента в предположении, что он позволяет точно определить состояние природы 
, при котором будет осуществляться операция.
| Матрица выигрышей для примера 3. |
| II I |
|
|
|
|
| А1 | 4 | 1 | 2 | 5 |
| А2 | 3 | 2 | 0 | 4 |
| А3 | 0 | 3 | 2 | 5 |
Решение.
Введем данные на рабочий лист в соответствии с Рис. 4.4.
Рис. 4.4. Данные для решения примера 3.
Введем необходимые формулы для расчета введенных выше параметров 
. В ячейку F2 введем формулу
=СУММПРОИЗВ(B2:E2;$B$8:$E$8)
и скопируем ее в ячейки F3, F4. В ячейку F5 введем формулу для расчета максимального из чисел в столбце F: =МАКС(F2:F4), а в ячейки B5:E5 – формулы для определения максимальных значений чисел в соответствующих столбцах.
В ячейку E11 введем формулу для расчета параметра 
(=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B8:E8)), а в ячейку F11 формулу, осуществляющую связь с ячейкой F5 (=F5). В ячейке G11 рассчитаем разность 
.
В ячейку E14 (под надписью Рекомендация), введем формулу =ЕСЛИ(G11>A11;A15;A16), для того, чтобы автоматизировать процесс получения рекомендации о целесообразности эксперимента.
В результате получим ответ:
| Стратегия | П1 | П2 | П3 | П4 | Выигрыш | |
| A1 | 4 | 1 | 2 | 5 | 3,55 | |
| A2 | 3 | 2 | 0 | 4 | 2,65 | |
| A3 | 0 | 3 | 2 | 5 | 2,85 | |
|
| 4 | 3 | 2 | 5 | 3,55 | |
| q1 | q2 | q3 | q4 | |||
| 0,25 | 0,15 | 0,2 | 0,4 | |||
| Затраты на проведение эксперимента (С) |
| разность | ||||
| 0,8 | 3,85 | 3,55 | 0,3 | |||
| Рекомендация | ||||||
| Эксперимент производить нецелесообразно | ||||||
|
|
Так как затраты на проведение эксперимента превосходят величину выигрыша, то в данном случае эксперимент проводить нецелесообразно.
Пример 4.
Торговое предприятие планирует продажу сезонных товаров с учетом возможных вариантов поведения покупательского спроса (
). Предприятием разработано три хозяйственных стратегии продажи товаров (
). Требуется найти оптимальное поведение торгового предприятия, пользуясь критериями Вальда, Гурвица (при 
) и Сэвиджа, если товарооборот, зависящий от стратегий предприятия и покупательского спроса представлен в виде следующей платежной матрицы.
| Платежная матрица примера 4 |
|
|
|
|
|
|
| А1 | 280 | 140 | 210 | 245 |
| А2 | 420 | 560 | 140 | 280 |
| А3 | 245 | 315 | 350 | 490 |
Решение
Введем данные на рабочий лист в соответствии с Рис. 4.5 (а,б)
Рассмотрим вначале поиск оптимальных стратегий по критериям Вальда и Гурвица.
Критерий Вальда. Введем в ячейку F5 формулу для нахождения минимального значения строки 5 (=МИН(B5:E5)) и скопируем данную функцию в ячейки F6, F7. В ячейку F8 введем формулу для нахождения максимального из значений ячеек F5:F7 (=МАКС(F5:F7)). В ячейку F9 введем логическую функцию, позволяющую автоматизировать процесс поиска оптимальной стратегии по методу Вальда:
=ЕСЛИ(И(F5>F6;F5>F7);A5;ЕСЛИ(И(F6>F5;F6>F7);A6;A7)).
Критерий Гурвица. Введем в ячейку F15 формулу для нахождения произведения минимального из значений строки 15 на параметр 
(=МИН(B15:E15)*$A$22) и скопируем ее в ячейки F16, F17. В ячейку G15 введем формулу для расчета произведения максимального из значений ячеек строки 15 на 
(=МАКС(B15:E15)*$B$22) и скопируем эту формулу в ячейки G16:G17.
Рис. 4.5 (а). Данные для решения примера 3 (критерии Вальда и Гурвица).
В ячейке H15 разместим формулу для суммы значений, находящихся в ячейках F15, G15 и скопируем ее в ячейки H16:H17. В ячейку H18 введем формулу для нахождения наибольшего из значений в ячейках H15:H17 (=МАКС(H15:H17)). В ячейку H19 введем логическую функцию
=ЕСЛИ(И(H15>H16;H15>H17);A15;ЕСЛИ(И(H16>H15;H16>H17);A16;A17)).
Критерий Сэвиджа. Введем данные в соответствии с Рис. 3.5(б).
Вначале рассчитаем и разместим в ячейках B38:E40 матрицу рисков. В ячейку B32 введем формулу =МАКС(B29:B31) и скопируем ее в ячейки C32:E32. Введем в ячейку B38 формулу =B$32-B29 и скопируем эту формулу в диапазон ячеек B38:E40. В ячейку F38 введем формулу =МАКС(B38:E38) и скопируем ее в ячейки F39:F40.
Рис. 4.5(б). Данные для решения примера 3 (критерий Сэвиджа).
В ячейку 41 введем формулу для расчета минимального риска =МИН(F38:F40), а в ячейку F42 – логическую функцию, имеющую следующий вид:
=ЕСЛИ(И(F38<F39;F38<F40);A38;ЕСЛИ(И(F39<F38;F39<F40);A39;A40)
Очевидно, данная логическая функция позволяет автоматизировать процесс выбора оптимальной стратегии при применении рассматриваемого критерия.
Результат поиска оптимальных стратегий по всем трем критериям приводится на следующей странице.
Характерной особенностью игровых методов теории принятия решений является относительная простота нахождения оптимальных стратегий выбора. Применительно к информационным технологиям на базе Excel это выражается в отсутствии необходимости использования пакета Поиск решения.
| Критерий Вальда | |||||||
| Стратегии | Покупательский спрос | ||||||
| П1 | П2 | П3 | П4 | ||||
| A1 | 280 | 140 | 210 | 245 | 140 | ||
| A2 | 420 | 560 | 140 | 280 | 140 | ||
| A3 | 245 | 315 | 350 | 490 | 245 | ||
| Выигрыш | 245 | ||||||
| Оптимальная стратегия | A3 | ||||||
| Критерий Гурвица | |||||||
| Стратегии | Покупательский спрос | ||||||
| П1 | П2 | П3 | П4 | ||||
| A1 | 280 | 140 | 210 | 245 | 56 | 168 | 224 |
| A2 | 420 | 560 | 140 | 280 | 56 | 336 | 392 |
| A3 | 245 | 315 | 350 | 490 | 98 | 294 | 392 |
| Выигрыш | 392 | ||||||
| Оптимальная стратегия | A3 | ||||||
| l= | 1-l= | ||||||
| 0,4 | 0,6 | ||||||
| Критерий Сэвиджа | |||||||
| Стратегии | Покупательский спрос |
| |||||
| П1 | П2 | П3 | П4 | ||||
| A1 | 280 | 140 | 210 | 245 | |||
| A2 | 420 | 560 | 140 | 280 | |||
| A3 | 245 | 315 | 350 | 490 | |||
| bj | 420 | 560 | 350 | 490 | |||
| Стратегии | Покупательский спрос | ||||||
| П1 | П2 | П3 | П4 | ||||
| A1 | 140 | 420 | 140 | 245 | 420 | ||
| A2 | 0 | 0 | 210 | 210 | 210 | ||
| A3 | 175 | 245 | 0 | 0 | 245 | ||
| Риск предприятия r = | 210 | ||||||
| Оптимальная стратегия | A2 |
Контрольные вопросы к теме:
1. Понятия риска и неопределенности
2. Охарактеризовать виды неопределенностей
3. Факторы, обуславливающие наличие риска в рыночной экономике
4. Стратегия игры
5. Характеристики игр
Обратите внимание на лекцию "Результаты обследования литературы и изданий документов".
6. Виды игр
7. Матричные игры с нулевой суммой
8. Игры без седловых точек
9. Матричные игры в смешанных стратегиях
10. Игры с природой
11. Критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица
