Решение парных матричных игр с нулевой суммой. Принцип минимакса

Решение парных матричных игр с нулевой суммой.

Принцип минимакса.

Используя платежную матрицу парной игры с нулевой суммой (табл. 4.1), определим наилучшую стратегию игрока I среди стратегий i ( i = ) и наилучшую стратегию игрока II среди стратегий j (j=).

В теории игр предполагается, что противники, участвующие в игре, одинаково разумны, и каждый из них делает все возможное для того достижения своей цели.

Проанализируем стратегии игрока I. Игрок I, выбирая стратегию ,  должен рассчитывать, что игрок II ответит на нее той из своих стратегий , для которой выигрыш игрока I будет минимальным. Найдем минимальное число  в каждой строке матрицы и, обозначив его , запишем в добавочный столбец платежной матрицы (см. табл. 4.2)

          .                                             (4.1)              

Зная числа  (свои выигрыши при применении i-х стратегий и разумном ответе игрока II), игрок I должен выбрать такую стратегию, для которой   максимально. Обозначив это максимальное значение как , (т.е.   ) и используя (4.1), получим:                                           

                                                                      (4.2)

Таблица 4.2

Рекомендуемые материалы

Величина  представляет собой гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок I; она называется нижней ценой игры (максимином). Стратегия, обеспечивающая получение нижней цены игры , называется максиминной стратегией. Если игрок I будет придер­живаться своей максиминной (перестраховочной) стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не меньший   при любом поведении игрока II.

В свою очередь, второй игрок стремится уменьшить свой проигрыш или, что то же самое, выигрыш игрока I обратить в минимум. В связи с этим, для выбора своей наилучшей стратегии он должен найти максимальное значение выигрыша игрока I в каждом из столбцов и среди этих значений выбрать наименьшее. Обозначим через  максимальный элемент в каждом столбце  и запишем эти элементы в дополнительной строке табл. 4.2. Наименьшее значение среди  обозначим через ;  эта величина представляет собой верхнюю цену игры (минимакс), которая определяется по формуле:

Рекомендация для Вас - Классификация систем и моделей.

                   .                                         (4.3).

Стратегия игрока II, обеспечивающая «выигрыш» , является его минимаксной стратегией. Выбор минимаксной стратегии игроком II гарантирует ему проигрыш не больше .

В теории игр доказывается, что для нижней и верхней цены игры всегда справедливо неравенство:  

.

Игры, для которых нижняя цена равна верхней, т. е. , называются играми с седловой точкой.

Общее значение нижней и верхней цены игры в играх с седловой точкой называется чистой ценой игры  , а стратегии , позволяющие достичь этого значения, - оптимальными чистыми стратегиями; элемент = является одновременно минимальным в i-й строке и максимальным в j-м столбце. Оптимальные стратегии определяют в игре положение равновесия,  поскольку каждому из игроков невыгодно отходить от своей оптимальной стратегии. Чистую цену игры  в игре с седловой точкой игрок I не может увеличить, а игрок II ‑ уменьшить. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.