Игры без седловых точек
Игры без седловых точек
Итак, если матрица игры содержит седловую точку, то ее решение находится по принципу минимакса. Рассмотрим методику решения игры, в платежной матрице которой отсутствует седловая точка. Применение минимаксных стратегий каждым из игроков обеспечивает первому выигрыш не меньше , а второму проигрыш не больше. Учитывая, что <, естественно для игрока I желание увеличить выигрыш, а для игрока II - уменьшить проигрыш. Поиск такого решения приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более чистых стратегий с определенными вероятностями. Такая сложная стратегия в теории игр называется смешанной. Смешанные стратегии игроков I и II будем обозначать, соответственно, и где , ‑ вероятности применения соответствующих чистых стратегий. Очевидно, должны выполняться условия нормировки для вероятностей:
Одна из основных теорем теории игр утверждает, что любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в смешанных стратегиях. Из этой теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену. Обозначим ее так же, как чистую цену игры, через . Цена игры - средний выигрыш, приходящийся на одну партию, - всегда удовлетворяет условию , т. е. лежит между нижней () и верхней () ценами игры. Следовательно, каждый игрок при многократном повторении игры, придерживаясь смешанных стратегий, получает более выгодный для себя результат. Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях, так же как и решение в чистых стратегиях, характеризуется тем, что каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии, если его противник применяет оптимальную смешанную стратегию, так как это ему невыгодно.
Стратегии игроков, входящие в их оптимальные смешанные стратегии, называются активными.